تحلیل کواریانس چند متغیره یک طرفه (MANCOVA) را می‌توان به‌عنوان یک تعمیم از تحلیل واریانس چند متغیره یک طرفه (MANOVA) برای واردکردن یک متغیر کمکی و یا تعمیمی از تحلیل کواریانس یک طرفه جهت واردکردن چندین متغیر وابسته در نظر گرفت.

 این متغیر کمکی به طور خطی با متغیرهای وابسته مرتبط است و گنجاندن آن در تجزیه و تحلیل می‌تواند توانایی تشخیص تفاوت بین گروه‌های یک متغیر مستقل را افزایش دهد. تحلیل کوواریانس چند متغیره  یک طرفه برای تعیین اینکه آیا تفاوت‌های آماری معنی‌داری بین میانگین‌های اصلاح شده سه یا چند گروه مستقل (غیر مرتبط) وجود دارد (که برای یک متغیر کمکی پیوسته کنترل شده اند) استفاده می‌شود

کاربرد تحلیل کواریانس چند متغیره(MANCOVA)

به عنوان مثال، شما می‌توانید از آنالیز چندمتغیره کوواریانس یک طرفه برای تعیین اینکه آیا عملکردهای مختلف امتحانات  بر اساس سطح اضطراب آزمون دانش‌آموزان متفاوت است یا خیر، استفاده کنید. در حالی که زمان تجدید نظر را نیز کنترل می‌کنید.

(به عنوان مثال، متغیرهای وابسته “عملکرد آزمون علوم انسانی”، “عملکرد آزمون علوم” و “ریاضی عملکرد امتحان”، که از 0-100، اندازه گیری شده‌اند و متغیر مستقل “سطح اضطراب آزمون”است، که دارای سه گروه – “دانش آموزان کم استرس” ، “دانش آموزان با استرس متوسط” و “دانش آموزان با استرس زیاد ” است و متغیر کمکی “زمان تجدید نظر” که بر معیار ساعت اندازه‌گیری شده است می‌باشد. شما می‌خواهید زمان تجدید نظر را کنترل کنید چرا که شما معتقدید که اثر سطح اضطراب آزمون بر عملکرد امتحانات، تا حدی، در مقدار زمانی که دانش‌آموزان صرف تجدید نظر می‌کنند بستگی دارد.
چنانچه این مباحث برای شما مشکل است می توانید همین الان در آمار پیشرو ثبت سفارش کنید و کارشناسان متخصص ما پروژه شما را به صورت کامل اجرا کنند.

چرا پیش فرض های آنالیز چندمتغیره کوواریانس اهمیت دارد؟

هنگامی که شما تجزیه و تحلیل داده‌های خود را با استفاده از MANCOVA یک طرفه انتخاب می‌کنید، بخش مهمی از فرایند انجام آزمون بررسی پیش‌فرض‌های مرتبط با آزمون مانکوا است. برای اینکه نتایج آزمون شما معتبر باشد، حتما باید پیش‌فرض‌های انجام آن برقرار باشد. تعجب نکنید اگر وقتی داده‌های خودتان را با استفاده از SPSS تحلیل می‌کنید، یک یا چند تا از این فرضیات نقض می‌شود. این در هنگام کار با داده‌های دنیای واقعی غیرمعمول نیست. با این حال، حتی زمانی که فرضیات برای داده‌های شما برقرار نیست، اغلب راه حلی برای غلبه بر این امر وجود دارد.

در عمل، چک کردن این 11 فرضیه به احتمال زیاد، زمان‌برترین بخش از تجزیه و تحلیل شما را تشکیل می‌دهد، همچنین فکرکردن در مورد داده‌های خود و اینکه چه باید بکنید اگر داده‌های شما فرضیات مربوط به آزمون را نقض کند، زمان زیادی می‌برد. در بخش زیر این ۱۱ فرض به طور خلاصه تنظیم شده است:

 تحلیل کواریانس چند متغیره  یک طرفه(MANCOVA) به شما خواهد گفت که آیا گروه‌های متغیر مستقل از نظر آماری به طور معنی‌داری بر اساس متغیرهای وابسته ترکیبی، پس از اصلاح متغیرکمکی متفاوت است اما نتیجه را بیشتر توضیح نخواهد داد.

به عبارت دیگر، تحلیل کواریانس چند متغیره  یک طرفه (MANCOVA) در مورد تفاوت‌های بین گروه‌های خاص به شما نخواهد گفت. با استفاده از مثال بالا،  تحلیل کواریانس چند متغیره  یک طرفه(MANCOVA) از نظر آماری نشان می‌دهد که تفاوت در سطوح اضطراب آزمون بر روی نمرات ترکیبی از سه آزمون (به عنوان مثال، علوم انسانی، علوم و ریاضیات) وجود دارد یا خیر. با این حال، نشان نخواهد داد که آیا دانش آموزان کم استرس در نمرات امتحان  نمره بالاتری نسبت به دانش آموزان با استرس بالا کسب می‌کنند، یا حتی به طور خاص تر، آیا دانش آموزان کم استرس در یک امتحان خاص (مانند امتحان علوم) در مقایسه با دانش آموزان بسیار پرتنش نمره بالاتری کسب کرده اند یا نه. می‌توان از آزمون های تعقیبی برای تعیین محل این تفاوت  بین گروه‌ها استفاده کرد.

پیش فرض‌های تحلیل کواریانس چند متغیره در SPSS

هنگامی که شما انتخاب می‌کنید تجزیه و تحلیل داده‌های خود را با استفاده از تحلیل کواریانس چند متغیره  یک طرفه(MANCOVA)   انجام دهید،  بخش مهمی از فرایند، این است که مطمئن شوید که داده‌هایی را که  شما می‌خواهید به تجزیه و تحلیل آن‌ها بپردازید می‌توانید از تحلیل   (MANCOVA)استفاده کنید.

11 فرضیه  است که برای MANCOVA یک طرفه مورد نیاز است که به شما یک نتیجه معتبر می‌دهد. تعجب نکنید اگر وقتی داده های خودتان را با استفاده از SPSS تحلیل می‌کنید، یک یا چند تا از این فرضیات نقض شود این در هنگام کار با داده‌های دنیای واقعی غیرمعمول نیست. با این حال، حتی زمانی که داده‌های شما فرضیات خاصی را شکست می‌دهد، اغلب راه حلی برای غلبه بر این امر وجود دارد.

در عمل، چک کردن  این 11 فرضیه به احتمال زیاد  زمان بر ترین بخش از تجزیه و تحلیل است که در ادامه به طور خلاصه شرح می‌دهیم.

فرض1: دو یا چند متغیر وابسته شما باید متغیرهای فاصله‌ای یا نسبتی باشند (متغیر های پیوسته باشند). نمونه‌های متغیرهای پیوسته شامل زمان تجدید نظر (بر اساس ساعت اندازه گیری می‌شود)، هوش (با استفاده از نمره ضریب هوشی اندازه‌گیری می‌شود)، عملکرد امتحان (بازه ۰ تا ۱۰۰ اندازه‌گیری می‌شود)، وزن (با کیلوگرم اندازه گیری می‌شود) و موارد دیگر.

فرض 2: متغیر مستقل شما باید از دو یا چند گروه دسته بندی شده، مستقل تشکیل شود (در واقع  شما یک متغیر اسمی یا یک متغیر ترتیبی داشته‌اید). نمونه‌هایی از متغیرهای اسمی شامل جنسیت (به عنوان مثال، ۲ گروه: مرد و زن)، قومیت (به عنوان مثال، ۳ گروه قفقازی، آمریکایی آفریقایی تبار واسپانیایی تبار) و حرفه (به عنوان مثال، ۴ گروه جراح، دکتر، پرستار و دندانپزشک) است. نمونه‌هایی از متغیرهای ترتیبی شامل غلظت کلسترول (به عنوان مثال، ۲ گروه: ۵ میلی مولبر لیتریا زیر و بالاتر از ۵ میلی مول بر لیتر) سطح فعالیت بدنی (به عنوان مثال، ۳ گروه: کم، متوسط و بالا) و شاخص توده بدن (به عنوان مثال، ۴ گروه: کم وزن، طبیعی، اضافه وزن، چاق) است.

فرض 3: یک یا چند متغیر کمکی شما همگی متغیرهای پیوسته هستند. یک متغیر کمکی در واقع  یک متغیر مستقل پیوسته است که برای تولید یک مدل (MANCOVA) به یک مدل( MANOVA) اضافه می‌شود. از این متغیر کمکی برای اصلاح میانگین گروه‌های متغیر مستقل دسته‌بندی شده استفاده می‌شود. در  MANCOVA  متغیر کمکی به طور کلی تنها برای ارائه ارزیابی بهتری از تفاوت‌های بین گروه‌های متغیر مستقل دسته‌بندی شده  بر متغیرهای وابسته است.

فرض 4: مشاهدات باید استقلال داشته باشند، به این معنی که هیچ رابطه‌ای بین مشاهدات در هر گروه از متغیر مستقل یا بین خود گروه‌ها وجود ندارد. به عنوان مثال، باید شرکت کنندگان مختلف در هر گروه از متغیر مستقل به گونه ای باشند که هیچ شرکت کننده ای در بیش از یک گروه نباشد.

فرض 5: باید بین هر جفت متغیرهای وابسته در درون هر گروه از متغیر مستقل رابطه خطی وجود داشته باشد. اگر متغیرها به صورت خطی مرتبط نباشند، توان آزمون کاهش می‌یابد. این بررسی را می‌توان توسط نمودار پراکنش برای هر گروه انجام داد.

فرض 6: باید بین متغیر کمکی و هر متغیر وابسته در درون هر گروه از متغیر مستقل رابطه خطی وجود داشته باشد.  مشابه فرض 5، این بررسی را می‌توان توسط نمودار پراکنش برای هر گروه انجام داد.

فرض 7: همگنی شیب‌های رگرسیونی: رابطه متغیر وابسته و کمکی در هر گروه باید یکسان باشد. در فرض 6 گفتیم که یک رابطه خطی می‌بایستی بین متغیر کمکی و وابسته در هر گروه وجود داشته باشد، هر رابطه‌ی خطی دارای یک شیب است و این شیب‌ها در هر گروه باید تقریبا یکسان باشند.

فرض 8: باید همگنی واریانس‌ها و کوواریانس‌ها وجود داشته باشد. به عبارت دیگر، MANCOVA  فرض می‌کند که واریانس‌ها و کوواریانس‌های متغیرهای وابسته در تمام گروه‌های متغیر مستقل برابر هستند. شما می‌توانید این فرض را در  SPSS با استفاده از ( Box’s M Test ) برابری ماتریس‌های کوواريانس تست کنید.

فرض 9: در گروه‌های متغیر مستقل شما از نظر هر متغیر وابسته نباید داده‌های پرت تک متغیره وجود داشته باشد. اگر مقادیر متغیر وابسته در هر گروهی از متغیر مستقل به گونه‌ای باشد که در مقایسه با نمرات دیگر بسیار کوچک یا بزرگ باشد، به آن‌ها داده‌های پرت تک متغیره گویند.

داده‌های پرت تک متغیره می‌توانند تأثیر منفی زیادی بر نتایج شما داشته باشند زیرا می‌توانند بر میانگین گروه تاثیر بگذارد در نتیجه  بر آزمون آماری نیز تأثیر بگذارد. وقتی حجم داده‌های شما کوچک است تاثیر منفی داده‌های پرت بسیار بیشتر است. داده‌های پرت می‌توانند به وسیله‌ی باقیمانده‌های استاندارد شده در SPSS تشخیص داده شوند.

فرض 10: در گروه‌های متغیر مستقل شما از نظر هر متغیر وابسته نباید داده‌های پرت چند متغیره قابل توجهی وجود داشته باشد. داده‌های پرت چند متغیره مواردی هستند (به عنوان مثال شرکت کنندگان در مثال ما) که ترکیبی غیرمعمول از نمرات بر متغیرهای وابسته در درون هر گروه از متغیر مستقل دارند. برای محاسبه آن در SPSS فاصله Mahalanobis وجود دارد که به وسیله آن می‌توان وجود داده‌های پرت چند متغیره را تشخیص دهیم.

فرض 11: باید نرمال بودن چند متغیره وجود داشته باشد. متاسفانه، فرض نرمال چند متغیره بودن نمی‌تواند به طور مستقیم در SPSS آزمایش شود. معمولا، نرمال بودن هر یک از باقی‌مانده‌ها را برای هر گروه از متغیر مستقل استفاده می‌کنیم تا دریابیم که آیا نرمال چند متغیره بودن وجود دارد یا نه. شما می‌توانید برای این  کار از آزمون شاپیرو ویلک در SPSS استفاده کنید.

مثالی ملموس از تحلیل کوواریانس چندمتغیره

یک محقق می خواهد مشخص کند که آیا سلامت قلب و عروق افراد با وزن طبیعی با سطوح بالاتری از فعالیت بدنی بیشتر است یا خیر (به عنوان نمونه، در مقابل افراد دارای اضافه وزن بیشتر با سطح فعالیت بدنی پایین تر). به این ترتیب، محقق ۱۲۰ شرکت کننده را که متعاقباً بسته به میزان فعالیت بدنی که انجام می‌دادند به یکی از سه گروه تقسیم شدند، انتخاب کرد:

گروهی که به عنوان سطح «کم» فعالیت بدنی طبقه بندی شدند، گروهی که به عنوان سطح «متوسط» فعالیت بدنی طبقه بندی شدند و گروهی که به عنوان سطح «بالا» فعالیت بدنی طبقه بندی شدند.

در هر گروه ۴۰ شرکت کننده وجود داشت. به منظور اندازه گیری سلامت قلب و عروق، محقق سه اندازه گیری از شرکت کنندگان انجام داد: (1) غلظت کلسترول (اندازه گیری شده در mmol/L)، پروتئین واکنشی (نشانگر بیماری های قلبی، اندازه گیری شده در mg/L) و فشار خون  (اندازه گیری شده در mmHg).

انتظار می‌رود که افزایش سطح فعالیت بدنی به طور کلی اثر مفیدی بر سلامت قلب و عروق داشته باشد،  که این فرضیه با سطح غلظت کلسترول، پروتئین واکنشی و فشار خون  اندازه‌گیری می‌شود. با این حال، محقق می‌داند که وزن بدن نیز بر سلامت قلب و عروق اثر می‌گذارد. به این ترتیب، محقق می‌خواهد تفاوت وزن بدن شرکت کنندگان را کنترل کند.

در این مثال غلظت کلسترول را با chol، پروتئین واکنشی را با crp، و فشار خون را با sbp، به عنوان متغیرهای وابسته، نشان می‌دهیم و وزن بدن به عنوان متغیر کمکی  و سه گروه فعالیت بدنی – “کم”را با low، “متوسط”را با moderate و “بالا” را با high – به عنوان گروه‌های متغیر مستقل، نشان می‌دهیم.

در  SPSS پنج متغیر ایجاد می‌کنیم

الف) سه متغیر وابسته پیوسته، chol، crp  و  sbp

ب) متغیر مستقل دسته‌ای، گروه، که دارای سه گروه “کم”، “متوسط” و “بالا” است

 ج) متغیر کمکی وزن که نشان دهنده وزن بدن است. این متغیرها باید به درستی در قسمت Variable View  وData View windows  وارد شوند.

توجه: شما همچنین نیاز به ایجاد یک متغیر اضافی دارید. این متغیر لازم است تا آزمایش کند که آیا پرت‌های چند متغیره‌ای وجود دارد یا نه (به عنوان نمونه، بخشی از فرض 10)

روش آزمون کوواریانس چندمتغیره در SPSS

پنج مرحله زیر به شما نشان می‌دهد زمانیکه 11 پیش فرض بخش قبلی نقض نشوند چگونه به تجزیه و تحلیل داده های خود با استفاده از MANCOVA در  SPSS   بپردازید. در پایان این پنج مرحله به شما نشان می‌دهیم که چگونه نتایج این آزمون را تفسیر کنید.خالی از لطف نیست که در اینجا اعلام کنیم اگر مایل به دریافت دوره آموزشی SPSS هستید اینجا کلیک کنید.

1. دستورات زیر را به‌ترتیب انجام دهید.

…Analyze > General Linear Model > Multivariate

سپس قسمت زیر نمایش داده می‌شود:

2. متغیرهای وابسته، chol، crp  و  sbp، را به قسمت Dependent Variables ، متغیر مستقل  groupرا به قسمت Fixed Factor و متغیر کمکی وزن را، به قسمت Covariate  انتقال دهید.

3: اگر شما از نسخه 25 یا بالاتر SPSS  استفاده می‌کنید، می توانید آزمون تعقیبی را به صورت زیر اجرا کنید:

EM means  بر   Option  و   کلیک کنید و پنجره‌های زیر برای محاسبه میانگین‌های حاشیه‌ای و گزینه‌های دیگر نمایش داده می‎‌شود.

اگر از نسخه 24 یا پایین تر SPSS اسنفاده می‌کنید با زدن بر گزینه Option   پنجره زیر برای انجام آزمون تعقیبی نمایش داده می‌شود.

4. سپس روی دکمه Continue کلیک کنید. به پنجره Multivariate  بازگردانده می‌شوید.

5. با کلیک بر روی دکمه OK نتایج MANCOVA را مشاهده خواهید کرد. 

تفسیر نتایج تحلیل کواریانس چند متغیره MANCOVA درSPSS

در SPSS تعدادی از جداول مختلف برای تجزیه و تحلیل MANCOVA بدست می آید، اما شما فقط نیاز به تفسیر جدول Multivariate Tests دارید.

در این مثال فرض می‌شود که 11 فرض زیر بنایی برقرار می‌باشد.

تست های چند متغیره  (Multivariate tests)در SPSS

هدف اصلی از اجرای MANCOVA  این است که ثابت کند که آیا گروه‌های متغیر مستقل، group) ( از نظر آماری به طور معنی‌داری در متغیرهای وابسته (chol، crp  و  sbp، به طورکلی)، پس از کنترل متغیر کمکی(وزن) متفاوت هستند یا خیر. اگر MANCOVA از نظر آماری معنی‌دار باشد، نشان می‌دهد که تفاوت میانگین تعدیل شده معنی‌داری بین گروه‌های متغیر مستقل از نظر متغیر وابسته ترکیبی (پس از تنظیم متغیر کمکی پیوسته) وجود دارد.

به عنوان مثال، نشان می‌دهد که میانگین نمرات ترکیبی متغیرهای وابسته ما – chol، crp و sbp  که برای متغیر کمکی پیوسته، وزن تنظیم شده‌اند، بین سه گروه متغیر مستقل ما،group  (یعنی گروه های فعالیت بدنی “پایین”، “متوسط” و “بالا”) متفاوت است. بنابراین، به منظور تفسیر نتایج  MANCOVA  جدول زیر به کار می آید:

توجه: ردیف‌های درون سرفصل گروه را هایلایت کرده‌ایم. این سرفصل ردیف همان نام متغیر مستقل شما را خواهد داشت. در مثال ما، group  نام گذاری شده است زیرا این نام متغیر مستقل ما است. بنابراین، هنگامی که داده‌های خود را تجزیه و تحلیل می‌کنید، به دنبال سرفصل ردیفی در جدول Multivariate Tests بگردید که با نام متغیر مستقل شما مطابقت دارد.

در این جدول شما نام‌های مختلفی برای آمار چندمتغیره مشاهده می‌کنید اما رایج‌ترین آن‌ها  Wilks’ Lambda (Λ) (لامبدا ویلکس) است که در این مثال نیز مورد استفاده قرار می‌گیرد.

اگر MANCOVA از نظر آماری معنی دارباشد، p-value (در ستون “Sig.”) کمتر از 0.05 (p <.05) است. متناوباً، اگر p>.05  ،MANCOVA، از نظر آماری معنی دار نیست. بنابراین، در مثال ما، اگر p <.05 باشد تفاوت آماری معنی داری بین گروه های فعالیت بدنی از نظر متغیرهای سلامت ، پس از کنترل وزن وجود دارد.  متناوباً، اگر p>.05تفاوت آماری معنی داری بین گروه های فعالیت بدنی از نظر متغیرهای سلامت، پس از کنترل برای وزن وجود ندارد.

همانطور که مشاهده می‌کنید چون (p <.05)،MANCOVA  از نظر آماری معنی دار است. یعنی از نظر آماری تفاوت‌های معنی‌داری در متغیرهای سلامت بین سطح فعالیت بدنی، پس از کنترل برای وزن وجود دارد.

گزارش نتایج مانکووا یک طرفه در spss

شما می توانید نتیجه  MANCOVA از نظر آماری معنی دار است را به صورت زیر گزارش کنید:

تفاوت آماری معنی داری بين گروه‌های فعاليت بدنی بر روی متغيرهای وابسته پس از کنترل برای وزن وجود داشت.

متناوبا، اگر نتیجه تحلیل کواریانس چند متغیره MANCOVA از نظر آماری معنی دارنبود، شما می توانید نتیجه را به صورت زیر گزارش کنید:

تفاوت آماری معنی داری بين گروه های فعاليت بدنی بر روی متغيرهای وابسته  پس از کنترل وزن وجود نداشت.

امیدوارم این مطلب برای شما مفید بوده باشد. شما می توانید مطالب جدید و آموزش های جدید را با فالو کردن صفحه اینستاگرام آمار پیشرو و چنانچه سوالی دارید می توانید در بخش نظرات اعلام کنید و کارشناسان ما در آمار پیشرو پاسخ دهند.

مفهوم تحلیل خوشه ای چیست؟

طبقه بندی پدیده‌ها یا متغیرها از ارکان هر علمی است و تحلیل خوشه‌ای یکی از روش‌های تحلیل چند متغیره است که برای طبقه بندی عناصر یا متغیرها و تشخیص گروه‌های همگن به کار می‌رود. تحلیل خوشه‌ای طبقه بندی عناصر یا متغیرها به گروه‌های همگن است به گونه‌ای که عناصر (یا متغیرهای) هر گروه دارای بیشترین شباهت با هم و کمترین شباهت با عناصر (یا متغیرهای) گروه‌های دیگر باشند.

تحلیل خوشه‌ای روش‌های مختلفی دارد که یکی از پرکاربردترین آنها روش خوشه بندی سلسله مراتبی است. طبقه بندی متغیرها را نیز به خوبی می‌توان با تحلیل عامل انجام داد. از این رو در اینجا فقط به معرفی تحلیل خوشه‌ای سلسله مراتبی عناصر می‌پردازیم.در ادامه تحلیل خوشه‌ای سلسله مراتبی عناصر را به اختصار تحلیل خوشه‌ای می‌خوانیم.

تحلیل خوشه‌ای اساساً برای طبقه بندی عناصر بر حسب متغیر یا متغیرهای کمّی است چه متغیرهای کیفی فی‌النفسه دارای طبقه بندی هستند مانند جنسیت با دو طبقه زن و مرد یا نگرش‌های اجتماعی با دو طبقه موافق و مخالف یا سه طبقه موافق و بی‌نظر و مخالف یا پنج طبقه کاملاً موافق و موافق و بی‌نظر و مخالف و کاملاً مخالف.

اما وقتی با متغیر کمّی سروکار داریم مجموعه‌ای (دامنه‌ای) از مقادیر داریم که برای طبقه بندی آن یا در واقع طبقه بندی عناصر بر حسب آن ناگزیریم از روشی برای طبقه بندی استفاده کنیم. به طور کلی متغیر کمّی پیوسته را می‌توان هم به طور ساده طبقه بندی کرد و هم با تحلیل خوشه‌ای.

متغیر کمّی پیوسته را می‌توان به طور ساده به سه صورت طبقه بندی کرد: طبقه بندی هم‌عرض و طبقه بندی هم‌فراوانی و طبقه بندی متوازن. در اینجا با یک مثال ساده (مثال1) این طبقه بندی‌ها را به اختصار توضیح می‌دهیم و با طبقه بندی تحلیل خوشه‌ای مقایسه می‌کنیم.

تعریف 1: تحلیل خوشه‌ای سلسله مراتبی عناصر طبقه بندی عناصر برحسب همگنی در یک یا چند متغیر کمّی است.

در طبقه بندی هم‌عرض عرض همه طبقات را یکسان می‌گیریم. به این منظور ابتدا مقادیر عناصر (داده‌ها) را به ترتیب نزولی مرتب می‌کنیم و دامنه مقادیر (تفاضل مقدار حداکثر از حداقل به اضافه یک) را پیدا کرده و سپس آن را بر تعداد مورد نظر تقسیم می‌کنیم تا عرض طبقات با نماد W به دست آید:

که در آن Max مقدار حداکثر است وMin  مقدار حداقل توزیع متغیر کمّی وU  واحد گرد شدن مقادیر وK  تعداد طبقات که بنابر مقتضیات تحقیق تعیین می‌شود.

مثال 1: داده‌های جدول 1 توزیع امید به زندگی زنان (X1) و درصد جمعیت باسواد (X2) نمونه‌ای از کشورهای جهان در سال 1995 است. عرض طبقات در طبقه بندی هم‌عرض متغیر X1 (امید زندگی زنان) مثال 1 چنانچه تعداد طبقات را 3 در نظر بگیریم عبارت است از:

عرض طبقات در طبقه بندی هم‌عرض امید زندگی زنان 13/3 است که اگر به واحد گرد شدن مقادیر متغیر که در اینجا یکان است گرد کنیم 13 می‌شود. با طبقه بندی متغیر X1 (امید زندگی زنان) به سه طبقه هم عرض جدول 2 می‌رسیم.

تحلیل خوشه ای یکی از خدمات تحلیل آماری است که شما می توانید آن را خود انجام دهید یا به یک شرکت آماری بسپارید، اگر وقت لازم را دارید می توانید در این مطلب کامل یک مثال ملمویس را حل کردیم که کامل آموزش ببینید، اما چنانچه وقت کافی ندارید می توانید این نوع تحلیلرا به عنوان یکی از خدمات تحلیل آماری با تعریف پروژه آماری از بخش خدمات سفارش دهید.

طبقه بندی هم فراوانی و کاربرد آن در تحلیل خوشه ای

در طبقه بندی هم‌فراوانی، فراوانی همه طبقات را یکسان می‌گیریم. به این منظور کل فراوانی را به تعداد طبقات مورد نظر تقسیم می‌کنیم تا به طبقاتی برسیم که فراوانی آنها یکسان (F) است:

که در آن N کل فراوانی است و K تعداد طبقات که بنابر مقتضیات تحقیق تعیین می‌شود.

به عنوان مثال فراوانی یکسان طبقات در طبقه بندی هم‌فراوانی متغیر X1 (امید زندگی زنان) جدول 1 چنانچه تعداد طبقات را 3 در نظر بگیریم عبارت است از:

سپس براساس داده‌هایی که به ترتیب نزولی مرتب شده است حدود هر طبقه را براساس مقدار حداقل و حداکثر موردهای آن طبقه تشکیل می‌دهیم مانند جدول3.

طبقه بندی متوازن موازنه‌ای بین دو نوع طبقه بندی پیشین است. در طبقه بندی متوازن سعی می‌شود موازنه‌ای بین عرض طبقات و فراوانی آنها برقرار گردد. طبقه بندی طوری صورت می‌گیرد که حتی‌الامکان نه عرض طبقات ناهمگون شود و نه فراوانی آنها.

خوشه بندی چیست و چه کاربردی دارد؟

اما خوشه بندی نوعی طبقه بندی پیشرفته است که براساس میزان تشابه و همگنی عنصرها در یک یا چند متغیر صورت می‌گیرد.

به عنوان مثال با خوشه بندی عناصر (کشورهای) مثال 1 برحسب متغیر X1  (امید زندگی زنان) به سه طبقه به طبقات همگن جدول 4 می‌رسیم: طبقه اول شامل چهار کشور اوگاندا و افغانستان و تانزانیا و زامبیاست که امید زندگی زنان آنها بین 43 الی 45 سال است. طبقه دوم شامل شش کشور کنیا و نیجریه و سنگان و کامرون و لیبی و عراق است که امید زندگی زنان آنها بین 55 تا 68 سال است. طبقه سوم شامل دو کشور سوئد و فرانسه است که امید زندگی زنان آنها بین 81 الی 82 سال است.

تکنیک خوشه بندی نه تنها متغیر کمّی را بر حسب همگنی عناصر به تعداد طبقات مورد نظر محقق تقسیم می‌کند بلکه متغیر را در سطوح مختلف همگنی عناصر به صورت یک نمودار درختی طبقه بندی می‌کند. این امر به محقق کمک می‌کند تا با مقایسه طبقه بندی سطوح مختلف مناسبترین طبقه بندی را انتخاب کند.

به عنوان مثال با خوشه بندی عناصر (کشورهای) مثال 1 برحسب متغیر X1 (امید زندگی زنان) نمودار درختی شکل 1 ارائه می‌شود. همانطور که در این شکل می‌بینیم در سطح اول هریک از کشورها (عناصر) یک طبقه مجزا را تشکیل می‌دهد.

در سطح دوم کشورها به چهار طبقه تقسیم شده‌اند: طبقه اول شامل چهار کشور سنگال و کامرون و نیجریه و کنیا و طبقه دوم شامل دو کشور عراق و لیبی و طبقه سوم شامل چهار کشور تانزانیا و زامبیا و افغانستان و اوگاندا و طبقه چهارم شامل دو کشور سوئد و فرانسه.

در سطح سوم کشورها به سه طبقه تقسیم شده‌اند: طبقه اول شامل شش کشور سنگال و کامرون و نیجریه و کنیا و عراق و لیبی و طبقه دوم شامل چهار کشور تانزانیا و زامبیا و افغانستان و اوگاندا و طبقه سوم شامل دو کشور سوئد و فرانسه.

در سطح چهارم کشورها به دو طبقه تقسیم شده‌اند: طبقه اول شامل ده کشور سنگال و کامرون و نیجریه و کنیا و عراق و لیبی و تانزانیا و زامبیا و افغانستان و اوگاندا و طبقه دوم شامل دو کشور سوئد و فرانسه.

به این ترتیب در این مثال می‌بینیم براساس میزان تشابه کشورها (عناصر) در متغیر امید زندگی زنان سه نوع طبقه بندی ارائه شده است (چهار طبقه‌ای و سه طبقه‌ای و دو طبقه‌ای) و ما می‌توانیم با مقایسه آنها و وجه نظری و مفهومی آنها طبقه بندی مناسب را انتخاب کنیم.

اما مزیت اصلی و عمده تکنیک خوشه بندی این است که با این تکنیک می‌توان عناصر را برحسب ترکیبی از چند متغیر نیز طبقه بندی کرد. به عنوان مثال با خوشه بندی عناصر (کشورهای) مثال 1 بر حسب دو متغیر X1 (امید زندگی زنان) و X2 (درصد جمعیت باسواد) نمودار درختی شکل 2 ارائه می‌شود. همانطور که در این شکل می‌بینیم طبقه بندی عناصر مثال 1 برحسب دو متغیر X1 و X2 با طبقه بندی آنها صرفاً برحسب متغیر X1 نسبتا متفاوت است.

مراحل تحلیل خوشه‌ای

تحلیل خوشه‌ای شامل دو مرحله اصلی است: تعیین اندازه شباهت جفت جفت عناصر مورد تحلیل و سرانجام خوشه بندی عناصر براساس اندازه شباهت با استفاده از یکی از روش‌های خوشه بندی.

تعیین اندازه شباهت و ضرایب آن ها

در تحلیل خوشه‌ای طبقه بندی براساس اندازه شباهت عناصر صورت می‌گیرد. اندازه شباهت مقدار نزدیکی یا دوری عناصر نسبت به یکدیگر است که با دو دسته از ضرایب سنجیده می‌شود: یکی ضرایب عدم تشابه و دیگری ضرایب تشابه. ضرایب عدم تشابه مبتنی بر اندازه فاصله و دوری هر عنصر از عنصر دیگر است. معمولا برای تحلیل خوشه‌ای از این نوع ضرایب استفاده می‌شود. ضرایب تشابه هم مبتنی بر نزدیکی هر عنصر از عنصر دیگر است.

ضرایب عدم تشابه

ضرایب عدم تشابه انواع گوناگونی دارد که مهم ترین آنها عبارتند از مجذور فاصله اقلیدسی و فاصله اقلیدسی و فاصله بلوک شهر و فاصله چبایچوف.

مجذور فاصله اقلیدسی

مجذور فاصله اقلیدسی (با نماد e_ij²) دوعنصر در مجموعه‌ای از متغیرها عبارت است از مجموع مجذور تفاوت مقادیر دو عنصر در هریک از متغیرها:

که در آن X_i مقدارعنصر i ام و X_j عنصر i ام در متغیر X است.        

به عنوان مثال مجذور فاصله اقلیدسی دو عنصر اول و دوم (کشور اوگاندا و افغانستان) مثال 1 در دو متغیر امید زندگی (X1) و درصد جمعیت باسواد (X2) عبارت است از:

یا مجذور فاصله اقلیدسی دو عنصر چهارم و پنجم (کشور زامبیا و کنیا) عبارت است از:

دامنه مجذور فاصله اقلیدسی از صفر (شباهت کامل) تا بینهایت (عدم تشابه کامل) است.

فاصله اقلیدسی

فاصله اقلیدسی (با نماد e_ij) دوعنصر در مجموعه‌ای از متغیرها عبارت است از جذر مجموع مجذور تفاوت مقادیر دو عنصر در هریک از متغیرها:

که در آن X_i مقدار عنصر i ام و X_j مقدار عنصر j ام در متغیرX است.

به عنوان مثال فاصله اقلیدسی دو عنصر اول و دوم (کشور اوگاندا و افغانستان) مثال 1 در دو متغیر امید زندگی (X1) و درصد جمعیت باسواد (X2) عبارت است از:

دامنه فاصله اقلیدسی هم از صفر (شباهت کامل) تا بینهایت (عدم تشابه کامل) است.

فاصله بلوک

فاصله بلوک شهر یا اختصاراً فاصله بلوک (با نماد bl_ij) دو عنصر در مجموعه‌ای از متغیرها عبارت است از مجموع قدر مطلق تفاوت مقادیر دو عنصر در هریک از متغیرها:

که در آن X_i مقدار عنصر i ام و X_j مقدار عنصر jام در متغیر X است.

به عنوان مثال فاصله بلوک دو عنصر اول و دوم (کشور اوگاندا و افغانستان) مثال 1 در دو متغیر امید زندگی (X1) و درصد جمعیت باسواد (X2) عبارت است از:

دامنه فاصله بلوک هم از صفر (شباهت کامل) تا بینهایت (عدم تشابه کامل) است.

فاصله چبایچوف

فاصله چبایچوف (با نماد ch_ij) دوعنصر در مجموعه‌ای از متغیرها عبارت است از بزرگ ترین قدر مطلق تفاوت مقادیر دو عنصر در بین متغیرها:

که در آن X_i مقدار عنصر i ام و X_j مقدار عنصر j ام در متغیر X است و max بزرگ‌ترین (حداکثر) تفاوت مقادیر دو عنصر در بین متغیرها.

به عنوان مثال فاصله چبایچوف دو عنصر اول و دوم (کشور اوگاندا و افغانستان) مثال 1 در دو متغیر امید زندگی (X1) و درصد جمعیت باسواد (X2) عبارت است از:

دامنه فاصله چبایخوف هم از صفر (شباهت کامل) تا بینهایت (عدم تشابه کامل) است.

ضرایب تشابه

ضرایب عدم تشابه انواع گوناگونی دارد که در اینجا یکی از مهم ترین آنها را که کسینوس بردار مقادیر است معرفی می‌کنیم.

کسینوس بردار مقادیر

کسینوس بردار مقادیر (با نماد co_ij) دو عنصر در مجموعه‌ای از متغیرها عبارت است از مجموع حاصل‌ضرب مقادیر دو عنصر در هریک از متغیرها تقسیم بر جذر مجموع مجذور مقدار یک عنصر در متغیرها ضرب در مجموع مجذور مقدار عنصر دیگر در متغیرها:

که در آن X_i مقدار i ام و X_j مقدار عنصرj ام در متغیر X است.

به عنوان مثال کسینوس بردار مقادیر دو عنصر اول و دوم (کشور اوگاندا و افغانستان) مثال 1 در دو متغیر امید زندگی (X1) و درصد جمعیت باسواد (X2) عبارت است از:

دامنه مقادیر کسینوس بردار از 1- (عدم تشابه کامل) تا 1+ (تشابه کامل) است.

خوشه بندی عناصر آخرین مرحله تحلیل خوشه ای

خوشه بندی عناصر مرحله اصلی و نهایی تحلیل خوشه‌ای است. در این مرحله عناصر بر اساس شباهت‌شان به هم طبقه بندی می‌شوند. در خوشه بندی ابتدا همه عناصر خوشه‌های گوناگونی به حساب می‌آیند.

سپس دو خوشه‌ای که دارای کمترین فاصله (بیشترین شباهت) به هم هستند با هم ادغام می‌شوند و یک خوشه جدید تشکیل می‌دهند. باز در مرحله بعدی دو خوشه که دارای کمترین فاصله هستند با هم ادغام می‌شوند و خوشه جدید دیگری تشکیل می‌دهند. این ادغام دو خوشه در هر مرحله و تشکیل خوشه‌های بزرگ‌تر متوالیاً ادامه می‌یابد و سرانجام به ترکیب تمام خوشه‌ها و رسیدن به یک خوشه می‌رسد.

خوشه‌بندی نیز با روش‌های گوناگونی صورت می‌گیرد. در هر روش نیز برای اندازه شباهت عناصر می‌توان هر یک از ضرایب تشابه یا ضرایب عدم تشابه را به کار برد. با وجود این معمولاً ضریب مجذور فاصله اقلیدسی برای اندازه شباهت خوشه‌ها استفاده می‌شود.

مقایسه روش های خوشه بندی

رایج‌ترین روش‌های خوشه‌بندی عبارتند از متوسط گروهی و متوسط درون‌گروهی و تک اتصالی و تام اتصالی و وارد. در بین این روش‌ها روش خوشه‌بندی تک اتصالی خوشه‌بندی منقبض (نزدیک به هم) تولید می‌کند و روش خوشه‌بندی تام اتصالی خوشه‌بندی منبسط (دور از هم). اما روش خوشه‌بندی متوسط گروهی خوشه‌بندی متعادلی بین این دو تولید می‌کند. از این رو محققان بیشتر روش متوسط گروهی را به کار می‌برند. روش خوشه‌بندی وارد نیز بعد از روش متوسط گروهی پرکاربردترین روش خوشه‌بندی است.

روش متوسط گروهی

در روش متوسط گروهی که عنوان اختصاری روش جفت گروهی ناموزون با استفاده از متوسط حسابی(UPGMA) است و اتصال بین گروهی هم خوانده می‌شود در هر مرحله خوشه‌بندی فاصله بین جفت جفت خوشه‌ها بر اساس ضریب متوسط گروهی احتساب می‌شود. سپس دو خوشه‌ای که دارای کمترین فاصله هستند با هم ترکیب می‌شوند.

ضریب متوسط گروهی با نماد ga_(i)(j) هم عبارت است از مجموع اندازه شباهت عناصر یک خوشه با عناصر خوشه دیگر تقسیم بر تعداد اندازه شباهت عناصر دو خوشه:

که در آن re_(i)(j) اندازه شباهت عنصری از خوشه (i) ام با عنصری از خوشه (j) ام است و N_(i)N_(j) که حاصل‌ضرب تعداد عناصر خوشه (i) ام در تعداد عناصر خوشه (j) ام است تعداد اندازه شباهت عناصر دو خوشه است.

در ادامه عناصر مثال 2 را که برای سادگی محاسبات بخشی از کشورهای مثال 1 است با روش متوسط گروهی خوشه‌بندی می‌کنیم و اندازه شباهت عناصر را هم مجذور فاصله اقلیدسی عناصر می‌گیریم.

مثال 2: داده‌های جدول 5 توزیع امید زندگی زنان (X1) و درصد جمعیت باسواد (X2) نمونه‌ای از کشورهای جهان در سال 1995 است. جدول 6 هم ماتریس اندازه شباهت عناصر (کشورها) بر حسب دو متغیر مذکور است که مبتنی بر مجذور فاصله اقلیدسی است.

مرحله صفر در خوشه بندی

در ابتدای خوشه‌بندی که مرحله صفر خوانده می‌شود هر عنصر یک خوشه به حساب می‌آید. در این مرحله ضریب متوسط گروهی دو خوشه همان اندازه شباهت دو عنصر است. به عنوان مثال ضریب متوسط گروهی خوشه (1) با خوشه (2) بر مبنای مجذور فاصله اقلیدسی عناصر دو خوشه (جدول 6) عبارت است از:

خوشه‌بندی مرحله صفرمثال 2 را می‌توان به صورت نمودار فاصله خوشه‌ها نشان داد (شکل3). جدول 7 هم ماتریس فاصله خوشه‌ها بر حسب ضریب متوسط گروهی در مرحله صفر است که مانند ماتریس اندازه شباهت عناصر (جدول7) است.

مرحله یک

در مرحله یک با وارسی فاصله خوشه‌های مرحله صفر (جدول 7) می‌بینیم دو خوشه (3) و (4) دارای کمترین فاصله هستند. ضریب متوسط گروهی آنها 10 است که کمترین ضریب متوسط گروهی است. از این رو این دو خوشه را با هم ترکیب می‌کنیم (شکل 4).

در این مرحله ضریب متوسط گروهی خوشه‌های مرحله قبل همان اندازه‌های قبلی است و فقط باید ضریب متوسط گروهی خوشه جدید (3و4) را با بقیه خوشه‌ها احتساب کنیم.

ضریب متوسط گروهی خوشه (1) با خوشه (3و4) با توجه به ماتریس اندازه شباهت عناصر (جدول 6) عبارت است از:

و خوشه (2) با خوشه (3و4):

و خوشه (5) با خوشه (3و4):

و خوشه (6) با خوشه (3و4):

حال ماتریس فاصله خوشه‌های مرحله یک را تشکیل می‌دهیم (جدول 8)

مرحله دو

در این مرحله با وارسی ماتریس فاصله خوشه‌های مرحله قبل (جدول 8) می‌بینیم دو خوشه (5) و خوشه (6) دارای کمترین ضریب متوسط گروهی هستند. از این رو این دو خوشه را با هم ترکیب می‌کنیم (شکل 5).

در مرحله 2 هم ضریب متوسط گروهی خوشه‌های گروهی خوشه‌های مرحله قبل همان اندازه‌های قبلی است و فقط باید ضریب متوسط گروهی خوشه جدید (5 و6) را با بقیه خوشه‌ها احتساب کنیم.

ضریب متوسط گروهی خوشه (1) با خوشه (5 و6) با توجه به ماتریس اندازه شباهت عناصر(جدول 6) عبارت است از:

و ضریب متوسط گروهی خوشه (2) با خوشه (5 و6):

و ضریب متوسط گروهی خوشه (3 و4) با خوشه (5 و6):

حال ماتریس فاصله خوشه‌های مرحله 2 را تشکیل می‌دهیم (جدول 9).

مرحله سه

در مرحله 3 با وارسی ماتریس فاصله خوشه‌های مرحله قبل (جدول 9) می‌بینیم دو خوشه (1) و (2) دارای کمترین فاصله خوشه‌ها (116) هستند. از این رو این دو خوشه را با هم ترکیب می‌کنیم (شکل 6).

در این مرحله هم ضریب متوسط گروهی خوشه جدید (1و2) را با بقیه خوشه‌ها احتساب کنیم. ضریب متوسط گروهی خوشه (1و2) با خوشه (3و4) با توجه به ماتریس اندازه شباهت عناصر (جدول 6) عبارت است از:

و خوشه (1و2) با خوشه (5 و6):

حال ماتریس فاصله خوشه‌های مرحله سه را تشکیل می‌دهیم (جدول 10).

مرحله چهار

در این مرحله هم با وارسی ماتریس فاصله خوشه‌های مرحله قبل (جدول 10) می‌بینیم دو خوشه (3و4) و (5و6) دارای کمترین ضریب متوسط گروهی (180) هستند. از این رو این دو خوشه را با هم ترکیب می‌کنیم (شکل 7).

در مرحله چهار فقط باید ضریب متوسط گروهی خوشه جدید (3و4و5و6) را با خوشه (1و2) را احتساب کنیم. ضریب متوسط گروهی خوشه (1و2) با خوشه (3و4و5و6) با توجه به ماتریس اندازه شباهت عناصر (جدول 6) عبارت است از:

حال ماتریس فاصله خوشه‌های مرحله چهار را تشکیل می‌دهیم (جدول 11).

مرحله پنج

در این مرحله با ترکیب دو خوشه (3و4و5و6) و(1و2) که فاصله آن دو بر حسب ضریب متوسط گروهی 409/25 است به خوشه نهایی می‌رسیم که تمام عناصر را در بر می‌گیرد (شکل 8).

نمودار درختی متوسط گروهی

تمام مراحل خوشه‌بندی را می‌توان به طور مختصر در نمودار درختی نشان داد مانند شکل 9 که نمودار درختی خوشه‌بندی با روش متوسط گروهی مثال 2 است. در این نمودار درختی می‌بینیم در ابتدا هر عنصری یک خوشه است. در مرحله 1 خوشه (3) و خوشه (4) در فاصله (ضریب متوسط گروهی) 10 با هم ترکیب شده‌اند. سپس در مرحله 2 خوشه (5) و خوشه (6) در فاصله 25 با هم ترکیب شده‌اند.

در مرحله 3 خوشه (1) و خوشه (2) در فاصله 116 با هم ترکیب شده‌اند. در مرحله 4 خوشه (3و4) و خوشه (5و6) در فاصله 180 با هم ترکیب شده‌اند. سرانجام در مرحله 5 خوشه (3و4و5و6) و خوشه (1و2) در فاصله 409 با هم ترکیب شده‌اند.

این ارائه یکپارچه خوشه‌بندی روابط بین خوشه‌ها را به سهولت به ما نشان می‌دهد. به عنوان مثال نمودار درختی مثال 2 (شکل9) نشان ‌می‌دهد که عناصر خوشه (3و4) به هم نزدیک‌ترند تا عناصر خوشه (5و6). به بیان دیگر خوشه (3و4) همگن‌تر از خوشه (5و6) است. همینطور دو خوشه (3و4) و (5و6) همگن‌تر از خوشه (1و2) هستند. گذشته از این دو خوشه (3و4) و(5و6) به هم نزدیکترند تا به خوشه (1و2).

به این ترتیب نمودار درختی خوشه‌بندی به محقق کمک می‌کند تا با توجه به روابط خوشه‌ها و فاصله خوشه‌ها از بین سطوح مختلف طبقه‌بندی (خوشه‌بندی) آن سطحی را که مناسب‌تر می‌بیند انتخاب کند.

روش متوسط درون‌گروهی

روش متوسط درون گروهی که اتصال درون‌گروهی نیز خوانده می‌شود مانند روش متوسط گروهی است با این تفاوت که اندازه شباهت عناصر درون خوشه‌ها نیز به حساب می‌آید. در این روش فاصله بین خوشه‌ها با ضریب متوسط درون‌گروهی احتساب می‌شود. سپس دو خوشه‌ای که دارای کمترین فاصله هستند با هم ترکیب می‌شوند.

ضریب متوسط درون‌گروهی با نماد wga_(i)(j) عبارت است از حاصل‌جمع مجموع اندازه شباهت جفت‌جفت عناصر یک خوشه با مجموع اندازه شباهت جفت‌جفت عناصر خوشه دیگر با مجموع اندازه شباهت عناصر یک خوشه با عناصر خوشه دیگر تقسیم بر مجموع تعداد عناصر دو خوشه ضرب در مجموع تعداد عناصر دو خوشه منهای یک تقسیم بر دو:

که در آن re_(ih) اندازه شباهت عنصرi ام وh ام از خوشه (i) ام است. re_(jk) هم اندازه شباهت عنصرj ام و k ام از خوشه (j) ام است. re_(i)(j) اندازه شباهت عنصری از خوشه (i) ام با عنصری از خوشه (j) ام است. N_(i) تعداد عناصر خوشه i ام است و N_(j) هم تعداد عناصر خوشه (j) ام.

در این روش نیز در ابتدای خوشه‌بندی (مرحله صفر) هر عنصر یک خوشه به حساب می‌آید و ضریب متوسط درون گروهی دو خوشه همان اندازه شباهت دو عنصر است. به عنوان مثال ضریب متوسط درون گروهی خوشه (1) با خوشه (2) بر مبنای مجذور فاصله اقلیدسی عناصر دو خوشه (جدول 6) عبارت است از:

مرحله یک

در این مرحله دو خوشه (3) و (4) که دارای کمترین فاصله ( کمترین ضریب متوسط درون گروهی) هستند با هم ترکیب می‌شوند.

در اینجا ضریب متوسط درون گروهی خوشه جدید (3و4) با خوشه (1) با توجه به ماتریس اندازه شباهت عناصر (جدول 6) عبارت است از:

و ضریب متوسط درون گروهی خوشه (3و4) با خوشه (2):

و ضریب متوسط درون گروهی خوشه (3و4) با خوشه (5):

و ضریب متوسط درون گروهی خوشه (3و4) با خوشه (6):

حال ماتریس فاصله خوشه‌های مرحله یک را تشکیل می‌دهیم (جدول 12).

مرحله دو

در این مرحله هم دو خوشه (5) و(6) که دارای کمترین ضریب متوسط درون گروهی (25) هستند با هم ترکیب می‌شوند. حال ضریب متوسط درون گروهی خوشه جدید (5و6) را با بقیه خوشه‌ها احتساب کنیم.

ضریب متوسط درون گروهی خوشه (5و6) با خوشه (1) با توجه به ماتریس اندازه شباهت عناصر (جدول 6) عبارت است از:

و ضریب متوسط درون گروهی خوشه (5و6) با خوشه (2):

و ضریب متوسط درون گروهی خوشه (5و6) با خوشه (3و4):

و ماتریس فاصله خوشه‌های مرحله دو را تشکیل می‌دهیم (جدول 13).

مرحله سه

در این مرحله دو خوشه (1) و(2) را که دارای کمترین ضریب متوسط گروهی (116) هستند با هم ترکیب می‌کنیم.

حال ضریب متوسط گروهی خوشه (1و2) با خوشه (3و4) با توجه به ماتریس اندازه شباهت عناصر (جدول 6) عبارت است از:

و ضریب متوسط درون گروهی خوشه (1و2) با خوشه (5و6):

سپس ماتریس فاصله خوشه‌های مرحله سه را تشکیل می‌دهیم (جدول 14).

مرحله چهار

در این مرحله دو خوشه (3و4) و (5و6) را که دارای کمترین ضریب متوسط درون گروهی (125/83) هستند با هم ترکیب می‌کنیم.

حال ضریب متوسط درون گروهی خوشه (1و2) با خوشه (3و4و5و6) با توجه به ماتریس اندازه شباهت عناصر (جدول 6) عبارت است از:

سپس ماتریس فاصله خوشه‌های مرحله چهار را تشکیل می‌دهیم (جدول 15).

در این مرحله با ترکیب خوشه (3و4و5و6) و خوشه (1و2) که فاصله (ضریب متوسط درون گروهی آنها) 276/33 است به خوشه نهایی می‌رسیم که تمام عناصر را در برمی‌گیرد.

نمودار درختی ضریب متوسط درون گروهی

شکل 10 نمودار درختی خوشه‌بندی با روش ضریب متوسط درون گروهی مثال 2 است. در این نمودار درختی هم در ابتدا هر عنصری یک خوشه است. در مرحله 1 خوشه (1) و خوشه (2) در فاصله ضریب متوسط درون گروهی 10 با هم ترکیب شده‌اند. سپس در مرحله 2 خوشه (5) و خوشه (6) در فاصله ضریب متوسط درون گروهی 25 با هم ترکیب شده‌اند.

در مرحله 3 خوشه (1) و خوشه (2) در فاصله ضریب متوسط درون گروهی 116 با هم ترکیب شده‌اند. در مرحله 4 خوشه (3و4) و خوشه (5و6) در فاصله ضریب متوسط درون گروهی 125/83 با هم ترکیب شده‌اند. سرانجام در مرحله 5 خوشه (3و4و5و6) و خوشه (1 و 2) در فاصله ضریب متوسط درون‌گروهی 276/33 با هم ترکیب شده‌اند.

تحلیل خوشه ای با روش تک اتصالی

در روش خوشه‌بندی تک اتصالی که روش نزدیک‌ترین همجوار هم خوانده می‌شود فاصله بین خوشه‌ها بر اساس ضریب تک اتصالی احتساب می‌شود. سپس دو خوشه‌ای که دارای کمترین فاصله هستند با هم ترکیب می‌شوند.

در این روش خوشه‌بندی بر اساس بیشترین شباهت دو عنصر از دو خوشه صورت می‌گیرد. به بیان دیگر دو خوشه هنگامی با هم ترکیب می‌شوند که اندازه شباهت یک عنصر از یک خوشه با یک عنصر از خوشه دیگر از بزرگترین اندازه شباهت بین جفت عنصرهای بین‌خوشه‌ای برخوردار باشد.

به این ترتیب ضریب تک اتصالی با نماد sl_(i)(j) در جایی که اندازه شباهت مبتنی بر ضریب شباهت است حداکثر اندازه شباهت جفت عنصر بین خوشه‌ای است:

و در جایی که اندازه شباهت مبتنی بر ضریب عدم شباهت است حداقل اندازه شباهت جفت عنصر این خوشه‌ای است:

که در آن re_(i)(j) اندازه شباهت جفت عنصر بین خوشه‌ای (i) و(j) است. به عبارت دیگر  re_(i)(j)اندازه شباهت عنصری از خوشه (i) ام با عنصری از خوشه (j) ام است.

در ادامه عناصر مثال 2 را با روش تک اتصالی و بر مبنای ضریب عدم تشابه مجذور فاصله اقلیدسی عناصر خوشه‌بندی می‌کنیم. از این رو مطابق فرمول 11 ضریب تک اتصالی معادل حداقل ضریب عدم تشابه مجذور فاصله اقلیدسی است.

در این روش نیز در ابتدای خوشه‌بندی (مرحله صفر) هر عنصر یک خوشه به حساب می‌آید و ماتریس فاصله خوشه‌ها بر حسب ضریب تک اتصالی (جدول 16) مانند ماتریس اندازه شباهت عنصرهاست (جدول 7) چون هر خوشه فقط یک عنصر دارد و ضریب تک اتصالی هر دو خوشه همان اندازه شباهت عنصرهای آن‌هاست.

مرحله یک

در این مرحله با وارسی ماتریس فاصله خوشه‌های مرحله صفر (جدول16) دو خوشه (3) و (4) را که دارای کمترین ضریب تک اتصالی (10) هستند با هم ترکیب می‌کنیم.

حال ماتریس فاصله خوشه‌ها بر حسب ضریب تک اتصالی مرحله یک را تشکیل می‌دهیم (جدول17) که در آن ضریب تک اتصالی خوشه جدید (3و4) با بقیه خوشه‌ها کمترین فاصله عنصر 3 و4 با عناصر خوشه‌های دیگر است. به عنوان مثال فاصله عنصر 3 با تک عنصر خوشه (1) معادل 628 و فاصله عنصر 4 با آن معادل 530 است. بنابراین ضریب تک اتصالی خوشه (3و4) با خوشه (1) کمترین آنهاست که 530 است.

مرحله دو

در این مرحله هم دو خوشه (5) و (6) را که در ماتریس فاصله خوشه‌های مرحله یک دارای کمترین ضریب تک اتصالی (25) هستند با هم ترکیب می‌کنیم. سپس ماتریس فاصله خوشه‌ها بر حسب ضریب تک اتصالی مرحله دو را تشکیل می‌دهیم (جدول 18).

مرحله سه

در این مرحله هم دو خوشه (1) و (2) را که در ماتریس فاصله خوشه‌های مرحله دو دارای کمترین ضریب تک اتصالی (116) هستند با هم ترکیب می‌کنیم و ماتریس فاصله خوشه‌ها بر حسب ضریب تک اتصالی مرحله سه را تشکیل می‌دهیم (جدول 19).

مرحله چهار

در این مرحله هم دو خوشه (1و2) و (5و6) را که در ماتریس فاصله خوشه‌ها بر حسب ضریب تک اتصالی مرحله سه دارای کمترین ضریب تک اتصالی (125) هستند با هم ترکیب می‌کنیم و ماتریس فاصله خوشه‌ها بر حسب ضریب تک اتصالی مرحله چهار را تشکیل می‌دهیم (جدول 20).

در این مرحله با ترکیب خوشه (1و2و5و6) و خوشه (3و4) که فاصله (ضریب تک اتصالی) آنها در مرحله چهار 136 است به خوشه نهایی می‌رسیم که تمام عناصر را در بر می‌گیرد.

نمودار درختی تک اتصالی

شکل 11 نمودار درختی خوشه‌بندی با روش تک اتصالی مثال 2 است. در این نمودار درختی هم در ابتدا هر عنصری یک خوشه است. در مرحله 1 خوشه (3) و خوشه (4) در فاصله 10 با هم ترکیب شده‌اند. سپس در مرحله 2 خوشه (5) و خوشه (6) در فاصله 25 با هم ترکیب شده‌اند. در مرحله 3 هم خوشه (1) و خوشه (2) در فاصله 116 با هم ترکیب شده‌اند. در مرحله 4 نیز خوشه (1و2) و خوشه (5و6) در فاصله 125 با هم ترکیب شده‌اند. سرانجام در مرحله 5 خوشه (1و2و5و6) و خوشه (3و4) در فاصله 136 با هم ترکیب شده‌اند.

تحلیل خوشه ای با روش تام اتصالی

در روش خوشه‌بندی تام اتصالی که روش دورترین همجوار هم خوانده می‌شود فاصله خوشه‌ها بر اساس ضریب تام اتصالی احتساب می‌شود. سپس دو خوشه‌ای که دارای کمترین فاصله هستند با هم ترکیب می‌شوند.

ضریب تام اتصالی دو خوشه هم بزرگ‌ترین اندازه شباهت بین جفت عنصرهای بین خوشه‌ای آنهاست. به بیان دیگر فاصله دو خوشه دورترین فاصله عنصری از یک خوشه با عنصری از خوشه دیگر است.

به این ترتیب ضریب تام اتصالی با نماد cl_(i)(j) درجایی که اندازه شباهت مبتنی بر ضریب شباهت است حداقل اندازه شباهت جفت عنصر بین خوشه‌ای است:

و در جایی که اندازه شباهت مبتنی بر ضریب عدم شباهت است حداکثر اندازه شباهت جفت عنصر بین خوشه‌ای است:

که در آن re_(i)(j) اندازه شباهت جفت عنصر بین خوشه‌ای (i) و (j) است. به بیان دیگر re_(i)(j) اندازه شباهت عنصری از خوشه (i) ام با عنصری از خوشه (j) ام است.

در ادامه عناصر مثال 2 را با روش تام اتصالی و بر مبنای ضریب عدم تشابه مجذور فاصله اقلیدسی عناصر خوشه‌بندی می‌کنیم. از این رو مطابق فرمول 13 ضریب تام اتصالی معادل حداکثر مجذور فاصله اقلیدسی است.

در این روش نیز در ابتدای خوشه‌بندی (مرحله صفر) هر عنصر یک خوشه به حساب می‌آید و ماتریس فاصله خوشه‌ها بر حسب ضریب تام اتصالی (جدول 21) مانند ماتریس اندازه شباهت عنصرهاست (جدول 6) چه هر خوشه فقط یک عنصر دارد و ضریب تام اتصالی هر دو خوشه همان اندازه شباهت عنصرهای آنهاست.

در این مرحله با وارسی ماتریس فاصله خوشه‌ها بر حسب ضریب تام اتصالی مرحله صفر (جدول 21) دو خوشه (3) و (4) را که دارای کمترین ضریب تام اتصالی (10) هستند با هم ترکیب می‌کنیم.

حال ماتریس فاصله خوشه‌ها بر حسب ضریب تام اتصالی مرحله یک را تشکیل می دهیم (جدول 22) که در آن ضریب تام اتصالی خوشه جدید (3و4) با بقیه خوشه‌ها بزرگ‌ترین فاصله عنصر 3 و 4 با عناصر خوشه‌های دیگر است. به عنوان مثال فاصله عنصر 3 با تک عنصر خوشه (1) معادل 628 و فاصله عنصر 4 با آن معادل 530 است. بنابراین ضریب تام اتصالی خوشه (3و4) با خوشه (1) بزرگ‌ترین آنهاست که 628 است.

مرحله دو

در این مرحله هم دو خوشه (5) و (6) را که در ماتریس فاصله خوشه‌های مرحله یک دارای کمترین فاصله (25) هستند با هم ترکیب می‌کنیم. سپس ماتریس فاصله خوشه‌های مرحله دو را تشکیل می‌دهیم (جدول 23) که در آن ضریب تام اتصالی خوشه جدید (5و6) با بقیه خوشه‌ها بزرگ‌ترین فاصله عنصر 5 و6 با عناصر خوشه‌های دیگر است.

به عنوان مثال فاصله عنصر 5 این خوشه با عنصر 3 خوشه (3 و4) معادل 233 و با عنصر 4 آن معادل 149 است و فاصله عنصر 6 این خوشه با عنصر 3 خوشه (3 و4) معادل 202 و با عنصر 4 آن معادل 136 است. در نتیجه ضریب تام اتصالی خوشه جدید (5 و6) با خوشه (3 و4) معادل 233 است که بزگ‌ترین فاصله بین چهار فاصله میان عناصر آن دو خوشه است.

مرحله سه

در این مرحله هم دو خوشه (1) و (2) را که در ماتریس فاصله خوشه‌های مرحله دو دارای کمترین فاصله (116) هستند با هم ترکیب می‌کنیم و ماتریس فاصله خوشه‌های مرحله سه را تشکیل می‌دهیم (جدول 24).

مرحله چهار

در این مرحله دو خوشه (3و4) و (5و6) را که در ماتریس فاصله خوشه‌های مرحله سه دارای کمترین فاصله (233) هستند با هم ترکیب می‌کنیم و ماتریس فاصله خوشه‌های مرحله چهاررا تشکیل می‌دهیم (جدول 25).

مرحله پنج

در این مرحله با ترکیب دو خوشه (3و4و5و6) و (1و2) که فاصله آنها 698 است به خوشه نهایی می‌رسیم که تمام عناصر را دربر می‌گیرد.

نمودار درختی تام اتصالی

شکل 12 نمودار درختی خوشه‌بندی با روش تام اتصالی مثال 2 است. در این نمودار درختی هم در ابتدا هر عنصری یک خوشه است. در مرحله 1 خوشه (3) وخوشه (4) در فاصله 10 با هم ترکیب شده‌اند. سپس در مرحله 2 خوشه (5) و خوشه (6) در فاصله 25 باهم ترکیب شده‌اند. در مرحله 3 هم خوشه (1) و خوشه (2) در فاصله 116 با هم ترکیب شده‌اند. در مرحله 4 خوشه (3 و 4) و خوشه (5 و 6) در فاصله 233 با هم ترکیب شده‌اند. سرانجام در مرحله 5 خوشه (3 و 4 و 5 و 6) و خوشه (1 و 2) در فاصله 698 با هم ترکیب شده‌اند.

تحلیل خوشه ای به روش وارد

در روش خوشه‌بندی وارد که عنوان اختصاری روش خوشه‌بندی حداقل واریانس وارد است و اتصال وارد هم خوانده می‌شود در هر مرحله خوشه‌بندی فاصله بین خوشه‌ها براساس ضریب وارد احتساب می‌شود که ضریب مجذور انحرافات مقادیر عناصر درون خوشه‌ها از میانگین متغیرهاست. سپس دو خوشه‌ای که دارای کمترین فاصله هستند با هم ترکیب می‌شوند.

ضریب وارد با نماد E_(i)(j) عبارت است از مجموع مجذور انحراف مقادیر از میانگین متغیر در درون دو خوشه (i) و (j) به اضافه مجموع مجذور انحراف مقادیر از میانگین متغیر در درون تک تک خوشه‌های دیگر:

که در آن X_g مقدار عنصر g ام دو خوشه (i) و (j) در متغیر X است و میانگین متغیر X در آن دو خوشه X_h هم مقدار عنصر h ام خوشه (h) در متغیرX است و میانگین متغیر X در خوشه (h).در این روش نیز در ابتدای خوشه‌بندی (مرحله صفر) هرعنصر یک خوشه به حساب می‌آید.

مرحله یک

در این مرحله هربار دو خوشه را در نظر می‌گیریم و ضریب وارد را که مبین فاصله دو خوشه است حساب می‌کنیم. به عنوان مثال با توجه به اینکه میانگین دو خوشه (1) و (2) در متغیر X1 معادل 50 و در متغیر X2  معادل 71 است و میانگین سایر خوشه‌ها نیز که تک‌عنصری هستند در هر متغیر معادل مقدار تک عنصر است ضریب وارد دو خوشه (1) و (2) عبارت است از:

با همین روال ضریب وارد تمام دو خوشه‌های ممکن را حساب می‌کنیم (جدول 26). سپس دو خوشه‌ای که دارای کمترین فاصله (کمترین ضریب وارد) هستند با هم ترکیب می‌شوند. در این مثال با وارسی جدول 26 می‌بینیم ترکیب دو خوشه (3) و (4) از کمترین ضریب وارد برخوردار است. پس این دو خوشه را با هم ترکیب می‌کنیم.

مرحله دو

در این مرحله نیز هربار دو خوشه را در نظر می‌گیریم و ضریب وارد آن دو خوشه را حساب می‌کنیم. به عنوان مثال با توجه به اینکه میانگین دو خوشه (1) و (2) در متغیر X1 معادل 50 و در متغیر X2  معادل 71 است و میانگین خوشه (3 و 4) در متغیر X1 معادل 57/5 و در متغیر X2  معادل 52/5 است و میانگین سایر خوشه‌ها نیز که تک‌عنصری هستند در هر متغیر همان مقدار تک عنصر است ضریب وارد ترکیب دو خوشه (1) و (2) عبارت است از:

با همین روال ضریب وارد ترکیب تمام دو خوشه‌های ممکن را حساب می‌کنیم ( جدول 27). سپس دو خوشه‌ای که دارای کمترین فاصله (کمترین ضریب وارد) هستند با هم ترکیب می‌شوند. در این مثال با وارسی جدول 27 می‌بینیم ترکیب دو خوشه (5) و (6) از کمترین ضریب وارد برخوردار است. بنابراین دو خوشه را با هم ترکیب می‌کنیم.

مرحله سه
در این مرحله هم باز هر بار دو خوشه را در نظر می‌گیریم و ضریب وارد آن دو خوشه را حساب می‌کنیم. به عنوان مثال با توجه به اینکه میانگین دو خوشه (1) و (2) در متغیر X1 معادل 50 و در متغیر X2 معادل 71 است و میانگین خوشه (3 و 4) در متغیر X1 معادل 57/5 و در متغیر X2 معادل 52/5 است و میانگین خوشه (5 و 6) در متغیر X1 معادل 66/5 و در متغیر X2 معادل 62 است ضریب وارد ترکیب دو خوشه (1) و (2) عبارت است از:

با همین روال ضریب وارد تمام دو خوشه‌های ممکن را حساب می‌کنیم (جدول 28). در این مثال دو خوشه (1) و (2) و همچنین دو خوشه (3 و 4) و (5 و 6) از کمترین ضریب وارد برخوردارند. از این رو یکی از این جفت خوشه‎ها را و معمولا کم عنصر ترین خوشه‌ها را که دو خوشه (1) و (2) هستند با هم ترکیب می‌کنیم.

مرحله چهار

در این مرحله هم باز هر بار دو خوشه را در نظر می‌گیریم و ضریب وارد دو خوشه را حساب می‌کنیم (جدول 29). در این مثال با وارسی جدول 27 می‌بینیم ترکیب دو خوشه (3 و 4) و (5 و 6) از کمترین ضریب وارد برخوردار است. بنا بر این دو خوشه را با هم ترکیب می‌کنیم.

مرحله پنج

در این مرحله با ترکیب دو خوشه (3 و 4 و 5 و 6) و (1 و 2) که فاصله (ضریب وارد) آنها 833/690 است به خوشه نهایی می‌رسیم که تمام عناصر را در بر می‌گیرد.

نمودار درختی وارد

شکل 13 نمودار درختی خوشه‌بندی با روش وارد مثال 2 است. در این نمودار درختی هم در ابتدا هر عنصری یک خوشه است. در مرحله 1 خوشه (3) و خوشه (4) در فاصله5/00 باهم ترکیب شده‌اند. سپس در مرحله 2 خوشه (5) و خوشه (6) در فاصله 17/50 با هم ترکیب شده‌اند. در مرحله 3 هم خوشه (1) و خوشه (2) در فاصله 75/50 با هم ترکیب شده‌اند. در مرحله 4 خوشه (3 و 4) و خوشه (5 و 6) در فاصله 246/75 با هم ترکیب شده‌اند. سرانجام در مرحله 5 خوشه (3 و 4 و 5 و 6) و خوشه (1 و 2) در فاصله 690/833 با هم ترکیب شده‌اند.

تحلیل خوشه ای کاربرد های متنوعی دارد در این مطلب سعی کردیم تمامی بخش های این مبحث را با مثال های متنوع و متعدد به شما توضیح دهیم. اما چنانچه در مسیر انجام تحلیل خوشه ای دچار مشکل شدید می توانید سوالات خود را در قسمت مشاوره آماری رایگان از افراد با تجربه در این زمینه بپرسید.

چنانچه علاقه مند به مباحث آماری هستید برای با خبر شدن از جدید ترین مطالب آماری می توانید صفحه اینستاگرام آمار پیشرو را دنبال کنید. همچنین اگر پروژه شما با پیچیدگی های خاصی همراه است که باید آن را به افراد با تجربه در موضوع تحلیل خوشه ای بسپارید، برای این کار کافیست فرم آماده شده در صفحه ثبت سفارش را کامل کنید تا در اولین فرصت کارشناسان ما با شما تماس بگیرند.

[block id=”breadcrumb”]

تحلیل مسیر Path Analysis چیست؟

تحلیل مسیر تکنیکی آماری است که با استفاده از معادلات رگرسیون خطی استاندارد (معادلات رگرسیون خطی بر حسب ضرایب رگرسیون استاندارد) به میزان انطباق یک مدل علی نظری با واقعیت (داده‌ها) می‌پردازد. به عبارت دیگر تحلیل مسیر تکنیکی برای آزمون تجربی مدل علی نظری است. علاوه بر این اگر مدل علی نظری با داده‌های جمعیتی معین انطباق داشته باشد می‌توان انواع اثرات (اثر مستقیم و غیرمستقیم و کاذب و خالص) تک تک متغیرهای مستقل بر متغیر وابسته مدل علی نظری را نیز حساب کرد.

 بهتر است قبل از هز چیزی بهتر است که به مطلب رگرسیون سری بزنید و مفهوم آن را دریافت کنید.

تحلیل مسیر یکی از خدمات تحلیل آماری است که شما می توانید آن را خود انجام دهید یا به یک شرکت آماری بسپارید، اگر وقت لازم را دارید می توانید در این مطلب کامل یک مثال ملمویس را حل کردیم که کامل آموزش ببینید، اما چنانچه وقت کافی ندارید می توانید این خدمت را به عنوان یکی از خدمات تحلیل آماری با تعریف پروژه آماری از بخش خدمات سفارش دهید.

مدل علی نظری Theoretical Causal Model چیست؟

مدل علی نظری مجموعه‌ای از متغیرهای مستقل (علت) و متغیر وابسته (معلول) و روابط بین آنهاست که بر اساس چارچوب نظری و استدلال نظری ساخته می‌شود. تحلیل مسیر مختص آزمون مدل علی نظری است که روابط متغیرها در آن مدل یک‌سویه است. به عبارت دیگر تحلیل مسیر برای آزمون مدلی که متضمن روابط متقابل بین متغیرهاست به کار نمی‌رود.

آزمون مدل علی در تحلیل مسیر مستلزم ترسیم مدل علی به صورت نموداری است به نام نمودار مسیر که متغیرها را بر حسب نظم و ترتیب و توالی علی نظری نشان می‌دهد (مانند شکل1). عنوان نمودار در نمودار مسیر تأکیدی است بر یک‌سویه بودن رابطه متغیرها و از همین روست که تکنیک آماری آزمون مدل علی نظری را تحلیل مسیر می‌خوانند.

تعریف 1: تحلیل مسیر تکنیکی است آماری برای آزمون تجربی مدل علی نظری.

نمودار مسیر Path Diagram چیست؟

در نمودار مسیرمتغیرها بر حسب نظم و ترتیب و توالی علی نظری از چپ به راست قرار می‌گیرند. روابط بین متغیرها و نظم و ترتیب و تقدم و تأخر آنها هم به استدلال نظری متکی است. رابطه علی هر متغیری با متغیر دیگر را یک پیکان نشان می‌دهد که آن دو را به هم وصل می‌کند. پیکان مبین مسیر علی متغیر علت بر متغیر معلول است. متغیر علت در انتهای پیکان قرار می‌گیرد و متغیر معلول در نوک پیکان.

به عنوان مثال نمودار مسیر شکل 1 نشان می‌دهد که دو متغیر مستقل X1 و X2 بر متغیر وابسته X3 اثر علی دارند. علاوه بر آن متغیر مستقل X1 بر متغیر X2 نیز اثر علی دارد.

متغیرهای درونزاد Endogenius و برونزاد Exogenous به چه معناست ؟

در نمودار مسیر به متغیر مستقلی که خود متأثر از متغیر یا متغیرهای مستقل دیگر در نمودار مسیر است و در واقع وابسته متغیرهای مستقل دیگر است متغیر درونزاد اطلاق می‌شود. به متغیر مستقلی هم که متأثر از هیچ متغیر مستقلی در نمودار مسیر نیست متغیر برونزاد گفته می‌شود.

متغیر وابسته نمودار مسیر هم‌متغیری است که متأثر از همه متغیرهای مستقل‌هاست اما بر هیچ متغیری اثر ندارد.

تعریف 2: مدل علی نظری عبارت است از یک دسته متغیر مستقل (علت) و یک متغیر وابسته (معلول) و روابط نظری بین آنها.

در نمودار مسیر شکل 1 متغیر مستقل X1 که معلول هیچ متغیر مستقلی در نمودار مسیر نیست متغیر برونزاد است و متغیر مستقل X2 که متأثر از متغیر X1 است متغیر درونزاد به شمار می‌آید و متغیر X3 هم که بر هیچ متغیری اثر ندارد متغیر وابسته است.

تعریف 3: متغیر برونزاد متغیر مستقلی است که متأثر از هیچ متغیر مستقل نمودار مسیر نیست و متغیر درونزاد متغیر مستقلی است که حداقل متأثر از یکی از متغیرهای مستقل نمودار مسیر است.

مفروضات تحلیل مسیر

تحلیل مسیر مبتنی بر مفروضاتی به این شرح است:

• متغیرها کمی و یا دو وجهی‌اند.
• روابط متغیرها خطی و جمع پذیر است و شامل روابط منحنی و تعاملی نمی‌شود.
• جریان علیت در متغیرها یکطرفه است.
• باقیمانده یک متغیر با باقیمانده‌های سایر متغیرها همبسته نیست.

انجام تحلیل مسیر منوط به تحقق این مفروضات و شرایط است. متغیرهای مستقل باید کمی و یا دووجهی باشند و رابطه متغیرهای کمی با متغیر وابسته نیز خطی باشد. از این متغیرهای مستقل نباید به صورت تعاملی اثر مضاعفی بر متغیر وابسته داشته باشند.

فرض یکطرفه‌بودن جریان علیت در متغیرها نیز بدان معناست که بر اساس استدلال نظری روابط علی بین متغیرها باید یکطرفه باشد و متغیرهایی را که با هم رابطه متقابل دارند نمی‌توان وارد نمودار مسیر کرد و مورد تحلیل قرار داد. فرض آخر نیز بدان معناست که همبستگی باقیمانده هر متغیر با باقیمانده‌های سایر متغیرها باید صفر باشد.

متغیرهای ظاهری را هم نمی‌توان در تحلیل مسیر به کار برد چه آنها طبقات یک متغیرند و از این رو همبستگی بالایی با هم دارند اما این همبستگی‌ها رابطه علی نیست که بتوان وارد تحلیل مسیر کرد.

اجرای آزمون نمودار مسیر به صورت مرحله به مرحله

برای آزمون تجربی یک نمودار مسیر (مدل علی نظری) بعد از گردآوری داده‌ها از جمعیتی معین (یا نمونه‌ای احتمالی از آن) و اطمینان از تحقق مفروضات تحلیل مسیر برای متغیر وابسته و هر یک از متغیرهای درونزاد یک تحلیل رگرسیون خطی انجام می‌دهیم.

چنانچه ضرایب رگرسیون تمام رگرسیون‌های خطی معنادار بود (سطح معناداری آنها مساوی 05/0 یا کمتر بود) و از طرف دیگر همبستگی متغیرهایی که در نمودار مسیر رابطه‌ای با هم ندارند صفر شد نمودار مسیر با واقعیت (داده‌های جمعیتی معین) انطباق دارد. در این صورت مدل علی مورد تحلیل برازنده آن جمعیت معین است. به عبارت دیگر مدل علی برازندگی دارد.

نکته 1: آزمون تجربی نمودار مسیر مستلزم تشکیل یک معادله رگرسیون خطی برای متغیر وابسته و یک معادله رگرسیون خطی برای هر یک از متغیرهای مستقل درونزاد است.

به طور خلاصه آزمون تجربی یک نمودار مسیر مستلزم سه مرحله است:

مرحله 1 وارسی مفروضات

مرحله 2 تحلیل رگرسیون خطی

مرحله 3 نتیجه‌گیری درباره برازندگی مدل

در اینجا برای نشان‌دادن مراحل عملی آزمون یک نمودار مسیر از چند مثال ساده استفاده می‌کنیم.

مثال 1: فرض کنیم محققی بر اساس چارچوب نظری و استدلال نظری مدلی علی به صورت نمودار مسیر شکل 1 ارائه کرده است که نشان می‌دهد دو متغیر مستقل X1 و X2 بر متغیر وابسته X3 اثر علی دارند. همچنین متغیر X1 بر متغیر X2 نیز اثر علی دارد. وی داده‌های مقتضی برای سنجش متغیرهای نمودار مسیر را نیز از نمونه‌ای احتمالی از جمعیتی معین (گیریم ساکنان شهر خوشاب) گردآوری کرده است (جدول1).

برای انجام تحلیل مسیر در گام اول مفروضات آن را وارسی می‌کنیم.

مرحله 1 وارسی مفروضات

همانطور که در جدول 1 می‌بینیم هر سه متغیر مستقل X1 و X2 وX3 کمی‌اند (فرض اول).

در شکل 2 نیز می‌بینیم در نمودار پراکنش متغیر وابسته X3 بر حسب متغیر X1 رابطه آنها خطی است. در شکل 3 هم می‌بینیم در نمودار پراکنش متغیر X3 بر حسب متغیر X2 رابطه آنها خطی است. در شکل 4 هم می‌بینیم در نمودار پراکنش متغیر درونزاد X2 با متغیر برونزاد X1 رابطه آنها خطی است (فرض دوم).

جمع‌پذیری روابط را نیز مفروض می‌گیریم. فرض یکطرفه‌بودن جریان علیت در متغیرها نیز مبتنی بر استدلال نظری محقق است (فرض سوم).

در جدول 2 هم می‌بینیم همبستگی E3 که باقیمانده رگرسیون خطی X1 با X2 و X3 است با E2 که باقیمانده رگرسیون خطی X2 با X1 است صفر است (فرض چهارم).

حال با حصول اطمینان از مفروضات تحلیل مسیر در گام دوم به تحلیل‌های رگرسیون خطی مقتضی می‌پردازیم.

مرحله 2 تحلیل‌های رگرسیون خطی

بیشتر بخوانید: رگرسیون خطی ساده چیست؟

تحلیل مسیر مثال 1 مستلزم دو تحلیل (معادله) رگرسیون خطی است: یکی رگرسیون خطی متغیر وابسته X3 با دو متغیر مستقل X1 وX2:

و دیگری رگرسیون خطی متغیر مستقل درونزاد X2 با متغیر مستقل X2 :

تحلیل رگرسیون خطی متغیر وابسته X3 با دو متغیر مستقل X1 وX2 (جدول 3) نشان می‌دهد هر دو متغیر مستقل با متغیر وابسته دارای رابطه معنادار هستند:

تحلیل رگرسیون خطی متغیر مستقل درونزاد X2 با متغیر مستقل X1 هم نشان می‌دهد آن دو با هم رابطه معنادار دارند (جدول 4):

بعد از تحلیل‌های رگرسیون خطی مقتضی نمودار مسیر در گام سوم درباره برازندگی نمودار مسیر (مدل علی) نتیجه‌گیری می‌کنیم.

مرحله 3 نتیجه‌گیری درباره  برازندگی مدل

همان‌طور که پیشتر به میان آمد هرگاه ضرایب رگرسیون تمام رگرسیون‌های خطی مقتضی معنادار بود (سطح معناداری آنها مساوی 05/0 یا کمتر بود) و همبستگی متغیرهایی که در نمودار مسیر رابطه‌ای با هم ندارند صفر شد نمودار مسیر با واقعیت (داده‌های جمعیتی معین) انطباق دارد.

درباره نمودار مسیر مثال 1 که ضرایب رگرسیون هر دو رگرسیون‌های خطی مقتضی معنادار بود نتیجه می‌گیریم نمودار مسیر مثال 1 با واقعیت (داده‌های جمعیتی معین) انطباق دارد. این بدان معناست که مدل علی محقق (شکل 1) برازنده آن جمعیت است. به عبارت دیگر نمودار مسیر مثال 1 دارای برازندگی است.

هرگاه نمودار مسیر دارای برازندگی در جمعیت مورد آزمون بود (مانند نمودار مسیر شکل 1) میزان برازندگی آن را مشخص کرده و ضرایب مسیر مدل را وارد نمودار مسیر می‌کنیم.

اما چنانچه ضریب رگرسیون یکی از متغیرهای مستقل در یکی از تحلیل‌های رگرسیون‌های خطی معنادار نبود یا بین متغیرهایی که در نمودار مسیر رابطه‌ای با هم ندارند همبستگی وجود داشت نمودار مسیر با واقعیت انطباق ندارد و فاقد برازندگی در جمعیت مورد آزمون تأیید نمی‌شود.

مثال 2: فرض کنیم محققی بر اساس چارچوب نظری و استدلال نظری یک مدل علی به صورت نمودار مسیر شکل 5 ارائه کرده است که نشان می‌دهد دو متغیر مستقل X1 وX2 بر متغیر وابسته X3 اثر علی دارند و بین متغیر X1 و X2 نیز رابطه‌ای وجود ندارد.

حال اگر همان داده‌های مثال 1 را برای آزمون نمودار مسیر وی به کار ببریم چون بین دو متغیر مستقل X1 وX2 همبستگی وجود دارد (جدول 5) نمودار مسیر مذکور با واقعیت انطباق ندارد و فاقد برازندگی در جمعیت مورد آزمون است. به عبارت دیگر این نمودار مسیر در این آزمون تأیید نمی‌شود.

مثال 3: فرض کنیم محققی بر اساس چارچوب نظری و استدلال نظری یک مدل علی به صورت نمودار مسیر شکل 6 ارائه کرده است که نشان می‌دهد دو متغیر مستقل X1 وX2 بر متغیر وابسته X3 اثر علی دارند. همچنین متغیر X1 هم بر متغیر X2 اثر علی دارد. وی داده‌های مقتضی برای سنجش متغیرهای نمودار مسیر را نیز از نمونه‌ای احتمالی از جمعیتی معین (گیریم ساکنان شهر قشلاق) گردآوری کرده است (جدول 6).

تحلیل رگرسیون خطی متغیر وابسته X3 با دو متغیر مستقل X1 وX2 (جدول 7) نشان می‌دهد هر دو متغیر مستقل رابطه معناداری با متغیر وابسته دارند. اما تحلیل رگرسیون خطی متغیر مستقل درونزاد X2 با متغیر مستقل X1 نشان می‌دهد بین آن دو رابطه‌ای وجود ندارد (جدول 8).

در اینجا نمودار مسیر مذکور با واقعیت انطباق ندارد چون فرض شده بود متغیر X1 بر متغیر X2 اثر علی دارد. بنابراین مدل مذکور فاقد برازندگی در جمعیت مورد آزمون است. به عبارت دیگر نمودار مسیر مثال 3 در این آزمون تأیید نمی‌شود.

شاخص برازندگی مدل علی

در تحلیل مسیر ضریب تعیین (R²)  متغیر وابسته مشخص می‌کند که یک مدل علی نظری دارای برازندگی چقدر با واقعیت (داده‌ها) انطباق دارد. از این رو ضریب تعیین رگرسیون خطی متغیر وابسته با متغیرهای مستقل شاخص برازندگی مدل علی نظری به شمار می‌آید.

ضریب تعیین هم مبین آن است که چه نسبتی از تغییر کل متغیر وابسته ناشی از مجموعه متغیرهای مستقل است. حداکثر مقدار ضریب تعیین یک و حداقل آن صفر است. هر چه مقدار ضریب تعیین به یک نزدیک‌تر باشد برازندگی مدل علی نظری بیشتر است.

در جایی که نمودار مسیر همه متغیرهای مستقل مؤثر در متغیر وابسته را در برگیرد ضریب تعیین به حداکثر مقدار خود (یک) می‌رسد و بدان معناست که همه تغییر متغیر وابسته ناشی از متغیرهای مستقل است و برازندگی مدل علی نظری کامل است. در جایی هم که معادله رگرسیون خطی هیچ یک از متغیرهای مستقل مؤثر بر متغیر وابسته در برنگیرد ضریب تعیین صفر می‌شود که بدان معناست هیچ نسبتی از تغییر متغیر وابسته ناشی از متغیرهای مستقل نیست و مدل علی فاقد برازندگی است.

نمودار مسیر مثال 1 دارای برازندگی بود. بنابراین ضریب تعیین رگرسیون خطی متغیر وابسته آن با متغیرهای مستقل بیانگر میزان برازندگی آن نمودار مسیر است. در این مدل ضریب تعیین رگرسیون خطی متغیر وابسته X1 وX2 حدود 85/0 است (جدول 9) که نشان می‌دهد اگر روابط علی بین متغیرها وجود داشته باشد 85/0 از تغییر متغیر وابسته X3 ناشی از متغیرهای مستقل X1 وX2 است.

ضریب مسیر Path Coefficient چه مفهوم و کاربردی دارد؟

ضریب مسیرضریب رگرسیون استاندارد متغیر علت با متغیر معلول در معادله رگرسیون خطی است که نمودار مسیر اقتضا می‌کند و مبین اثر مستقیم متغیر علت بر متغیر معلول است. در جایی که نمودار مسیر دارای برازندگی در جمعیت مورد آزمون بود ضرایب مسیر را وارد نمودار مسیر می‌کنیم (مانند شکل 7).

هر ضریب مسیر را با نماد P_ij نشان می‌دهیم. در نماد P_ij اندیس i ام مبین متغیر معلول و اندیس j ام مبین متغیر علت است. برای اجتناب از شلوغی نمودار مسیر متغیرها را به ترتیب رابطه علت و معلولی شماره‌گذاری کرده و در اندیس نماد ضریب مسیر نیز فقط شماره متغیرها را به کار می‌بریم.

به عنوان مثال در شکل 7 ضریب مسیر P₃₁ مبین ضریب رگرسیون استاندارد متغیر مستقل X1 با متغیر وابسته X3 است و ضریب مسیر P₃₂ مبین ضریب رگرسیون استاندارد متغیر مستقل X2 با متغیر وابسته X3 .

مقادیر ضرایب مسیر هم از رگرسیون خطی که مدل علی اقتضا می‌کند به دست می‌آید. به عنوان مثال در نمودار مسیر شکل 7 ضرایب مسیر از رگرسیون خطی متغیر X3 با متغیرهای X1 و X2 که نتایج آن در جدول 3 آمده است و رگرسیون خطی متغیر X2 با متغیر X1 که نتایج آن در جدول 4 ارائه شده است به دست می‌آید.

طبق جدول 3 ضریب رگرسیون استاندارد X1 با X3 معادل 475/0 است. پس در نمودار مسیر شکل 4 مقدار ضریب مسیر P₃₁ را 475/0 درج می‌کنیم. همینطور مقدار ضریب رگرسیون استاندارد X2 با X3 را که 504/0 است برای ضریب مسیر P₃₂ می‌نویسیم. مقدار ضریب مسیر P₂₁ هم مقدار ضریب رگرسیون استاندارد متغیر مستقل X1 با متغیر مستقل درونزاد X2 است که مطابق جدول 4 معادل 764/0 است.

تعریف 4: ضریب مسیر ضریب رگرسیون استاندارد متغیر علت با متغیر معلول در معادله رگرسیون خطی نمودار مسیر است.

ضریب مسیر باقیماندهResidual Path Coefficient چیست؟

ضریب مسیر باقیمانده  ضریب مسیر عوامل ناشناخته است. عوامل ناشناخته هم متغیرهایی هستند که مدل علی آنها را در بر نگرفته است. ترسیم آنها در نمودار برای نشان‌ دادن سهم عوامل ناشناخته در متغیر معلول یا نسبتی از تغییر متغیر معلول است که در مدل علی تبیین نشده باقی مانده است. عوامل ناشناخته متغیر معلول X_j را با نماد e_j و ضریب مسیر آن را با نماد P_je نشان می‌دهیم. به عنوان مثال در شکل 7 باقیمانده متغیر X3 با نماد ₃e نشان داده شده است و ضریب مسیر آن با نمادP_e3.

ضریب مسیر باقیمانده متغیر معلول X_j با نماد P_je عبارت است از جذر نسبت تغییر متغیر معلول که در نمودار مسیر تبیین نشده باقیمانده است:

که در آن R_j ضریب تعیین مقدار معلول X_j است.

به عنوان مثال ضریب مسیر باقیمانده متغیر X3 در نمودار مسیر شکل 7 با توجه به این که مقدار ضریب تعیین رگرسیون X3 با دو متغیر مستقل X1 و X2 معادل 846/0 است (جدول 9) عبارت است از:

و ضریب مسیر باقیمانده متغیر X2 با توجه به این که مقدار ضریب تعیین رگرسیون آن متغیر با متغیر X1 معادل 584/0 است (جدول 10) عبارت است از:

اثرات متغیرهای مستقل کدامند؟

در مدل علی نظری دارای برازندگی که مدلی است که با داده‌های جمعیتی معین انطباق دارد می‌توان اثرات مختلف تک تک متغیرهای مستقل بر متغیر وابسته را نیز مشخص کرد: اثر مرتبه صفر و اثر مستقیم و اثر غیرمستقیم و اثر کاذب و اثر خالص.

اثر مرتبه صفر Zero-Order Effect

اثر مرتبه صفریک متغیر مستقل بر متغیر وابسته همبستگی آن دو متغیر بدون به حساب آوردن سایر متغیرهای نمودار مسیر است. به عبارت دیگر اثر مرتبه صفر متغیر مستقل بر متغیر وابسته همان همبستگی آن دو متغیر است.

تعریف 5: ضریب مسیر باقیمانده ضریب مسیر متغیرهای ناشناخته است که در مدل علی قرار ندارند.

در تحلیل مسیر اثر مرتبه صفر یک متغیر مستقل بر متغیر وابسته به سه اثر جداگانه تقسیم می‌شود: اثر مستقیم و اثر غیرمستقیم و اثر کاذب. به عبارت دیگر اثر مرتبه صفر یک متغیر مستقل بر متغیر وابسته با نماد r_ij عبارت است از مجموع سه اثر مذکور:

که درآن p_ij اثر مستقیم متغیر مستقل X_j بر متغیر وابسته X_i و ir_ij اثرغیرمستقیم و sr_ij اثر کاذب آن.

نکته 2: اثر مرتبه صفر یک متغیر مستقل بر متغیر وابسته همبستگی آن دو متغیر است که در نمودار مسیر به سه اثر مستقیم و غیرمستقیم و کاذب تجزیه می‌شود.

نمودار مسیر اثر مستقیم چیست؟

در نمودار مسیر اثر مستقیم یک متغیر اثر بلافصل و بی‌واسطه آن متغیر بر متغیر دیگری است که با پیکان نشان داده می‌شود و مقدار آن همان ضریب مسیر دو متغیر است. به عبارت دیگر ضریب مسیر p_ij مبین اثر مستقیم متغیرjام بر متغیر iام است.

تعریف 6: اثر مستقیم یک متغیر مستقل اثر بی‌واسطه آن بر متغیر وابسته است که همان ضریب مسیر دو متغیر است.

به عنوان مثال در نمودار مسیر شکل 7 ضریب مسیر P₃₁ که معادل 475/0 است اثر مستقیم متغیر مستقل X1 بر متغیر وابسته X3 است و ضریب مسیر P₃₂ که معادل 504/0 است اثر مستقیم متغیر مستقل X2 بر متغیر وابسته X3 است. همچنین ضریب مسیرP₂₁ که معادل 764/0 است اثر مستقیم متغیر برونزاد X1 بر متغیر مستقل درونزاد X2 است.

نمودار مسیر اثر غیر مستقیم چه کاربردی دارد؟

در نمودار مسیر اثر غیرمستقیم تأثیر متغیری بر متغیری دیگر از طریق متغیر یا متغیرهای رابط است. متغیر رابط هم متغیری است که هم متأثر از متغیر علت است و هم مؤثر بر متغیر معلول. مقدار اثر غیرمستقیم از ضرب کردن ضرایب مسیری که در آن مسیر غیرمستقیم قرار دارند به دست می‌آید.

به عنوان مثال در شکل 7 متغیر مستقل X1 از طریق متغیر مستقل X2 بر متغیر وابسته X3 اثر غیرمستقیم دارد. مقدار این اثر غیرمستقیم عبارت است از حاصل ضرب ضریب مسیر P₂₁ در ضریب مسیرP32:

اما متغیر مستقل X2 بر متغیر وابسته X3 اثر غیرمستقیم ندارد. به عبارت دیگر اثر غیرمستقیم متغیر مستقل X2 بر متغیر وابسته X3 صفر است.

تعریف 7: اثر غیرمستقیم یک متغیر مستقل اثر آن بر متغیر وابسته از طریق متغیر یا متغیرهای رابطی است که بین آن دو قرار دارند.

اثر کاذب در نمودار مسیر چه کاربردی دارد؟

در نمودار مسیر اثر کاذب یک متغیر مستقل بخشی از اثر آن متغیر بر متغیر وابسته است که ناشی از تأثیر متغیر یا متغیرهای دیگر مدل بر هردو متغیر است.

به عنوان مثال در نمودار مسیر شکل 7 اثر کاذب متغیر مستقل X2 بر متغیر وابسته X3 بخشی از اثر متغیر مستقل X2 بر متغیر وابسته X3 است که ناشی از اثر متغیر مستقل X1 است چه هر دو متغیر X2 وX3 متأثر از آن متغیرند.

اما متغیر مستقل X1 اثر کاذبی بر متغیر وابسته X3 ندارد چه در آن نمودار مسیر هیچ متغیری وجود ندارد که هر دو متغیر متأثر از آن باشند. یک متغیر مستقل برونزاد فاقد اثر کاذب است زیرا طبق تعریف متغیر مستقل برونزاد در یک نمودار مسیر متغیری است که هیچ متغیری بر آن تأثیر ندارد.

تعریف 8: اثر کاذب یک متغیر بخشی از اثر یک متغیر علت بر متغیر معلول است که ناشی از تأثیر متغیر یا متغیرهای دیگر مدل بر هر دو متغیر است.

اثر کاذب متغیر مستقل بر متغیر وابسته از تجزیه اثر مرتبه صفر به سه اثر مستقیم و غیرمستقیم و کاذب به دست می‌آید:

که درآن r_ij اثر مرتبه صفر متغیر مستقل X_j بر متغیر وابسته X_i است وp_ij ضریب مسیر متغیر مستقل X_j با متغیر وابسته X_i و p_ik ضریب مسیر متغیر وابسته X_i با متغیر مستقلی است که اثر مستقیمی بر متغیر مستقل X_j دارد و r_jk همبستگی متغیر مستقل X_j با متغیر مستقلی است که اثر مستقیمی بر آن دارد.

به عنوان مثال در نمودار مسیر شکل 7 برای احتساب اثر کاذب متغیر مستقل X2 بر متغیر وابسته X3 همبستگی مرتبه صفر آن دو متغیر را با توجه به ضرایب مسیر مقتضی در نمودار مسیر و همبستگی متغیرهای مدل (جدول 11) با فرمول 3 تجزیه می‌کنیم:

در این مثال اثر مستقیم X2 بر X3 (که همان ضریب مسیر آن دو متغیر است) 0/504 و اثر غیرمستقیم آن صفر است. بنابراین اثر کاذب X2 بر X3 معادل 0/363 است.

اثر کاذب متغیر مستقل بر متغیر وابسته را می‌توان به صورت ساده هم به دست آورد. از آنجا که همبستگی مرتبه صفر دو متغیر مجموع اثر مستقیم و اثر غیرمستقیم و اثر کاذب متغیر مستقل بر متغیر وابسته است (فرمول 3) در نتیجه اثر کاذب متغیر مستقل بر متغیر وابسته با نماد sr_ij عبارت است از:

که در آن r_ij اثر مرتبه صفر متغیر مستقل X_j بر متغیر وابسته X_i است و p_ij اثر مستقیم متغیر X_j بر متغیر وابسته X_i و ir_ij اثر غیرمستقیم X_j بر X_i.

به عنوان مثال در نمودار مسیر شکل 7 که اثر مرتبه صفر متغیر مستقل X2 بر متغیر وابسته X3 معادل 0/637 (جدول 12) و اثر مستقیم X2 برX3 (که همان ضریب مسیر آن دو است) 0/504 است و متغیر مستقل X2 بر متغیر وابسته X3 اثر غیرمستقیمی ندارد (اثر غیرمستقیم X2 برX3 صفر است) اثر کاذب X2 بر X3  عبارت است از:

که معادل همان مقداری است که با فرمول 3 به دست آمد.

نکته 3: در نمودار مسیر متغیر مستقل برونزاد بر هیچ متغیری اثر کاذب ندارد.

نکته 4: در نمودار مسیر متغیر مستقل درونزاد بر متغیر وابسته اثر کاذب دارد.

اثر خالص در نمودار مسیر چه کاربردی دارد؟

در نمودار مسیر اثر خالص متغیر مستقل X_j بر متغیر وابسته X_i (با نماد pr_ij ) همبستگی دو متغیر بعد از حذف (کنترل) اثر متغیرهای مستقل مؤثر بر متغیر مستقل X_j از آن متغیر مستقل است.

احتساب اثر خالص متغیر مستقل به روابط بین متغیرهای مستقل نمودار مسیر بستگی دارد. برای احتساب اثر خالص متغیر مستقل X_j بر متغیر وابسته X_i از متغیر مستقل X_j به عنوان متغیر وابسته با متغیرهای مستقل دیگر که بر اساس نمودار مسیر بر آن متغیر مستقل مؤثرند رگرسیون خطی می‌گیریم و باقیمانده‌های آن را به صورت یک متغیر در نظرگرفته و بین آن متغیر باقیمانده و متغیر وابسته X_i همبستگی دو متغیره می‌گیریم.

تعریف 9: اثر خالص یک متغیر مستقل عبارت است از اثر آن بر متغیر وابسته بعد از برداشتن اثر سایر متغیرهای مؤثر برآن.

در واقع اثر خالص متغیر مستقل X_j بر متغیر وابسته X_i همان همبستگی نیمه جزیی دو متغیر است. از این رو اثر خالص متغیر مستقل X_j بر متغیر وابسته X_i را می‌توان با فرمان همبستگی جزیی و نیمه جزیی در رگرسیون خطی متغیر وابسته X_i با متغیر مستقل X_j و متغیرهای مستقل مؤثر بر متغیر مستقل X_j به دست آورد.

به عنوان مثال در نمودار مسیر شکل 7 اثر خالص متغیر مستقل X2 بر متغیر وابسته X3 اثر متغیر X2 بعد از برداشتن اثر متغیر مستقل X1 از روی آن است که همان همبستگی نیمه جزیی دو متغیرX2 و X3 با کنترل متغیر X1 است. همان‌طور که در جدول 12 آمده است این همبستگی نیمه جزیی 0/325 است. این بدان معناست که در نمودار مسیر مثال 1 (شکل7) اثر خالص متغیر مستقل X2 بر متغیر وابسته X2 معادل 0/325 است.

در نمودار مسیر اثر خالص متغیر مستقل برونزاد بر متغیر وابسته همان همبستگی مرتبه صفر آن است چه متغیر مستقل برونزاد در یک نمودار مسیر متغیری است که هیچ متغیری بر آن تأثیر ندارد. به عنوان مثال در نمودار مسیر شکل 7 اثر خالص متغیر مستقل برونزاد X1 بر متغیر وابسته X3 همان همبستگی مرتبه صفر آن است که معادل 0/860 است (جدول 12).

کاربرد مجذور اثر خالص در نمودار مسیر چیست ؟

در نمودار مسیر مجذور اثر خالص یک متغیر مستقل نسبتی از تغییر متغیر وابسته است که آن متغیر مستقل به تنهایی تبیین می‌کند و اگر قائل به رابطه علی بین آن دو باشیم نسبتی از تغییر متغیر وابسته است که ناشی از آن متغیر مستقل است.

مجموع مجذور اثر خالص متغیرهای مستقل هم نسبتی از تغییر متغیر وابسته است که مجموعه متغیرهای مستقل نمودار مسیر تبیین می‌کند. از این رو مجموع مجذور اثر خالص متغیرهای مستقل معادل ضریب تعیین (R² ) نمودار مسیر است که مبین نسبتی از تغییر متغیر وابسته است که مجموعه متغیرهای مستقل تبیین می‌کند:

که در آن pr_ij اثر خالص متغیر مستقل X_j بر متغیر وابسته X_i است.

به عنوان مثال در نمودار مسیر شکل 7 که اثر خالص متغیر مستقل X2 بر متغیر وابسته X3 معادل 0/325 و اثر خالص متغیر مستقل X1 معادل 0/860 است ضریب تعیین عبارت است از:

که معادل مقدار ضریب تعیین رگرسیون خطی متغیر X3 با متغیرهای X1 و X2 است (جدول 9).

کاربرد اثرات متغیرهای مستقل در تحلیل مسیر

در تحلیل مسیر تعیین اثرات مختلف تک تک متغیرهای مستقل اساساً برای مقایسه تأثیر متغیرهای مستقل بر متغیر وابسته از جوانب گوناگون است. با مقایسه اثرات مستقیم معلوم می‌شود کدام متغیر مستقل بیشترین یا کمترین اثر مستقیم را بر متغیر وابسته دارد. یا با مقایسه اثرات غیرمستقیم مشخص می‌شود کدام متغیر مستقل بیشترین یا کمترین اثر غیرمستقیم را بر متغیر وابسته دارد. یا کدام متغیر مستقل بیشترین یا کمترین اثر کاذب را دارد.

اما از همه مهمتر مقایسه اثرات خالص است که نشان می‌دهد هر متغیر مستقل نمودار مسیر چه نقشی در متغیر وابسته دارد. به ویژه مجذور اثرات خالص حائز اهمیت است که نشان می‌دهد هر متغیر مستقلی چه نسبتی از تغییر وابسته را تبیین می‌کند.

برای تسهیل مقایسه اثرات مختلف یک متغیر مستقل و مقایسه اثرات مختلف متغیرهای مستقل همه اثرات مختلف متغیرهای مستقل یک نمودار مسیر را در جدولی تحت عنوان ماتریس اثرات ارائه می‌کنیم.

ماتریس اثرات چیست؟

ماتریس اثراتجدولی است شامل تمام اثرات متغیرهای مستقل یک نمودار مسیر (مانند جدول 13) که برای مقایسه اثرات مختلف متغیرهای نمودار مسیر به کار می‌رود.

در ستون اول ماتریس اثرات نام متغیرهای مستقل نمودار مسیر درج می‌شود. ستون دوم به همبستگی متغیرهای مستقل با متغیر وابسته اختصاص دارد که همان اثر مرتبه صفر متغیرهای مستقل است و از سه جزء (اثر مستقیم و اثرغیرمستقیم و اثر کاذب) تشکیل شده است. اثر مستقیم در ستون سوم می‌آید که اثر بلافصل متغیر مستقل بر متغیر وابسته است. اثر غیرمستقیم که اثر متغیر مستقل بر متغیر وابسته از طریق متغیر یا متغیرهای دیگر است در ستون چهارم می‌آید. اثر کاذب هم که بخشی از اثر متغیرمستقل بر متغیر وابسته است که ناشی از تأثیر متغیر یا متغیرهای دیگر مدل بر هر دو متغیر است در ستون بعدی می‌آید.

ستون ششم ماتریس اثرات به اثر خالص متغیرهای مستقل بر متغیر وابسته اختصاص دارد که همبستگی هر متغیر مستقل با متغیر وابسته بعد از برداشتن اثر متغیرهای مستقل مؤثر بر آن متغیر مستقل از روی آن متغیر مستقل است. ستون آخر هم مجذور اثر خالص متغیرهای مستقل است که مبین نسبتی از تغییر متغیر وابسته است که هر یک از متغیرهای مستقل تبیین می‌کند.

با تهیه ماتریس اثرات با سهولت می‌توان به ارزیابی و مقایسه اثرات مختلف متغیرهای مستقل پرداخت. به عنوان مثال در ماتریس اثرات نمودار مسیر شکل 7 (جدول 13) می‌بینیم همبستگی مرتبه صفر و اثر مستقیم متغیر مستقل X2 اندکی بیشتر از متغیر مستقل X1 است. اما متغیر مستقل X1 اثر غیرمستقیمی بر متغیر وابسته دارد در حالی که متغیر مستقل X2 اثر غیرمستقیم ندارد. در عوض X2 دارای اثر کاذب بر متغیر وابسته است در حالی که متغیر مستقل X1 اثر کاذب ندارد.

مقایسه اثرات خالص نشان می‌دهد اثر خالص متغیر مستقل X1 بر متغیر وابسته به مراتب بیشتر از اثر خالص متغیر مستقل X2 است. مجذور اثر خالص متغیر مستقل X1 بر متغیر وابسته که 0/740 است حدود هفت برابر مجذور اثر خالص متغیر مستقل X2 است که فقط 0/106 است. این بدان معناست که سهم متغیر مستقل X1 در تبیین متغیر وابسته حدود هفت برابر سهم متغیر مستقل X2 است.

مثال 4: در این مثال تمام مراحل یک تحلیل مسیر 4 متغیره را انجام می‌دهیم. فرض کنیم محققی بر اساس چارچوبی نظری استدلال می‌کند سه متغیر جنسیت و تحصیلات و سمت اداری سه عامل عمده درآمد کارکنان حقوق‌بگیر است.

استدلال وی به طور خلاصه به این شرح است: در جوامع معاصر عموماً جایگاه مردان بالاتر از زنان است و از این رو به طور متوسط درآمد مردان از زنان بیشتر است. تحصیلات هم بیانگر تخصص است و تقسیم کار در جوامع معاصر هم مبتنی بر تخصص است. بنابراین درآمد رابطه مستقیمی با تحصیلات دارد: هر چه تحصیلات بیشتر درآمد بیشتر. سمت اداری هم جایگاهی در سلسله مراتب اداری است و طبعاً رابطه مستقیمی با درآمد دارد (هر چه سمت اداری بالاتر درآمد بیشتر).

همچنین سمت‌های اداری به همان دلیل بالا بودن جایگاه مردان و اهمیت تخصص عموماً به مردان و افراد دارای تحصیلات بالاتر اختصاص می‌یابد. به عبارت دیگر جنسیت و تحصیلات بر سمت اداری تأثیر دارد. و باز به دلیل بالا بودن جایگاه مردان به طور متوسط تحصیلات مردان بالاتر است. به عبارت دیگر جنسیت بر تحصیلات هم تأثیر دارند. مجموعه این روابط بین چهار متغیر به صورت نمودار مسیر شکل 8 ترسیم شده است.

گیریم داده‌های مقتضی برای سنجش متغیرهای نمودار مسیر شکل 8 و آزمون مدل را از نمونه‌ای احتمالی از جمعیتی معین (کارکنان شرکت بزرگ الف) گرد آورده‌ایم (جدول 14). جنسیت (X1) متغیری دوشقی و به صورت صفر و 1 کدگذاری شده (صفر برای زن و 1 برای مرد) و تحصیلات (X2) متغیری کمی بر حسب سال و سمت اداری (X3) از پایین‌ترین تا بالاترین سطح به صورت متغیری کمی از صفر تا 4 و درآمد ماهانه (X3) متغیری کمی بر حسب هزار تومان اندازه‌گیری و وارد فایل SPSS شده است.

حال برای تحلیل مسیر مدل مذکور در مرحله اول به وارسی مفروضات می‌پردازیم. همان‌طور که به میان آمد جنسیت (X1) متغیری دوشقی و تحصیلات(X2)  و سمت اداری (X3) هم به صورت متغیری کمی اندازه‌گیری شده‌اند (فرض اول). در شکل 9 الی 11 نیز می‌بینیم روابط متغیرهای معلول با متغیرهای علت خطی است (فرض دوم) و جمع‌پذیری روابط را نیز مفروض می‌گیریم.

شکل 9 نمودار پراکنش X4 بر حسب X2 مثال 4

شکل 10 نمودار پراکنش X4 بر حسب X3 مثال 4

فرض یکطرفه‌بودن جریان علت در متغیرها نیز مبتنی بر استدلال نظری محقق است (فرض سوم) و همان‌طور که در جدول 15 می‌بینیم همبستگی E4 (باقیمانده X4 ) با E3 (باقیمانده X3 ) و با E2 (باقیمانده X2 ) و همبستگی E3 با E2 همگی صفرند (فرض چهارم).

حال با حصول اطمینان از مفروضات تحلیل مسیر در مرحله دوم به تحلیل رگرسیون خطی مقتضی می‌پردازیم.

تحلیل مسیر مثال 4 مستلزم سه معادله رگرسیون خطی است. اول رگرسیون خطی متغیر وابسته X4 با سه متغیر X1 و X2 و X3 :

دوم رگرسیون خطی متغیر مستقل درونزاد X3 با متغیر مستقل X1 و X2 :

سوم رگرسیون خطی متغیر مستقل درونزاد X2 با متغیر مستقل X1 :

تحلیل رگرسیون خطی متغیر وابسته درآمد ماهانه (X4) با سه متغیر مستقل جنسیت (X1) و تحصیلات (X2) و سمت اداری (X3) نشان می‌دهد هر سه متغیر مستقل دارای رابطه معناداری با متغیر وابسته‌اند. (جدول 16).

تحلیل رگرسیون خطی متغیردرونزاد سمت اداری (X3) با دو متغیر مستقل جنسیت (X1) و تحصیلات (X2) نیز نشان می‌دهد هر دو متغیر مستقل رابطه معناداری با آن متغیر دارند (جدول 17).

همچنین تحلیل رگرسیون خطی متغیر درونزاد تحصیلات (X2) با متغیر مستقل جنسیت (X1) نشان می‌دهد متغیر مستقل جنسیت رابطه معناداری با آن متغیر دارد (جدول 18).

تأیید همه مفروضات نمودار مسیر شکل 8 مبین برازندگی مدل در آن جمعیت (انطباق مدل با واقعیت) است (مرحله سوم).

شاخص این برازندگی هم ضریب تعیین رگرسیون خطی متغیر وابسته با متغیرهای مستقل نمودار مسیر است. همان‌طور که در جدول 19 می‌بینیم مقدار ضریب تعیین تعدیل‌یاقته آن مدل حدود 0/89 است. این بدان معناست اگر همان‌طور که محقق استدلال کرده بین متغیرها روابط علی وجود داشته باشد 0/89 از تغییر متغیر وابسته درآمد ماهانه (X4) کارکنان شرکت بزرگ الف ناشی از سه متغیر مستقل جنسیت (X1) و تحصیلات (X2) و سمت اداری (X3) آنهاست.

از آنجایی که نمودار مسیر شکل 8 دارای برازندگی در جمعیت مورد آزمون است ضرایب مسیر متغیرها را از روی تحلیل رگرسیون مقتضی (جدول 16 الی 18) و ضرایب مسیر باقیمانده‌ها را از روی ضریب تعیین‌های مقتضی (جدول 19 الی 21) احتساب کرده و وارد نمودار مسیر می‌کنیم (شکل 12).

حال برای ارزیابی و مقایسه اثرات مختلف متغیرهای مستقل ماتریس اثرات نمودار مسیر شکل 12 را تشکیل می‌دهیم (جدول 22). همبستگی مرتبه صفر متغیرهای مستقل با متغیر وابسته را از جدول ضرایب رگرسیون خطی X4 با X1 و X2 و X3 (جدول 24) و اثر مستقیم متغیرهای مستقل بر متغیر وابسته را نیز از ضرایب مسیر شکل 12 استخراج می‌کنیم.

اثر غیرمستقیم متغیر مستقل جنسیت (X1) بر متغیر وابسته درآمد ماهانه (X4) شامل اثر X1 از طریق متغیر X2 به X4 و از طریق X3 به X4 و همچنین از طریق X2 به X3 به X4 است. اثر غیرمستقیم متغیر مستقل تحصیلات (X2) بر متغیر وابسته درآمد ماهانه (X4) شامل اثر X2 از طریق X3 به X4 است. متغیر مستقل سمت اداری (X3) هم اثر غیرمستقیمی برمتغیر وابسته (X4) ندارد.

جنسیت (X1) که متغیر مستقل برونزاد است بر متغیر وابسته درآمد ماهانه (X4) اثر کاذب ندارد. اما متغیر مستقل درونزاد تحصیلات (X2) بر متغیر وابسته درآمد ماهانه (X4) اثر کاذب دارد که ناشی از تأثیر متغیر جنسیت (X1) بر هر دو متغیر است. این اثر کاذب طبق فرمول 4 از کم کردن مقدار اثر مستقیم و غیرمستقیم X2 از همبستگی مرتبه صفر آن با متغیر وابسته درآمد ماهانه (X4) به دست می‌آید:

متغیر مستقل درونزاد سمت اداری (X3) هم بر متغیر وابسته درآمد ماهانه (X4) اثر کاذب دارد که ناشی از تأثیر متغیر جنسیت (X1) و تحصیلات (X2) بر هر دو متغیر است. این اثر کاذب هم از کم کردن مقدار اثر مستقیم و غیرمستقیم X3 از همبستگی مرتبه صفر آن با متغیر وابسته درآمد ماهانه (X4) احتساب می‌شود:

اثر خالص متغیر مستقل جنسیت برونزاد (X1) برمتغیر وابسته درآمد ماهانه (X4) معادل همبستگی مرتبه صفر آن است. اثر خالص متغیر مستقل درونزاد تحصیلات (X2) بر متغیر وابسته درآمد ماهانه (X4) همبستگی نیمه جزیی آن دو با حذف اثر X1 بر X2 است. این همبستگی با فرمان همبستگی جزیی و نیمه جزیی در رگرسیون خطی متغیر وابسته X4 با دو متغیر مستقل X1 و X2 به دست می‌ آید (جدول 23) که معادل 0/475 است.

اثر خالص متغیر مستقل درونزاد سمت اداری (X3) بر متغیر وابسته درآمد ماهانه (X4) همبستگی نیمه جزیی آن دو با حذف اثر X1 و X2 برX3 است. این همبستگی با فرمان همبستگی جزیی و نیمه جزیی در رگرسیون خطی متغیر وابسته X4 با سه متغیر مستقل X1 و X2 وX3 به دست می‌آید. (جدول 24) که معادل 0/312 است.

حال در ارزیابی و مقایسه اثرات مختلف متغیرهای مستقل (جدول 22) می‌بینیم همبستگی مرتبه صفر و اثر مستقیم متغیر مستقل سمت اداری (X3) بیشتر از متغیر مستقل جنسیت (X1) و تحصیلات (X2) است. در عوض متغیر مستقل جنسیت (X1) دارای بالاترین اثر غیرمستقیم بر متغیر وابسته است و اثر غیرمستقیم تحصیلات (X2) در مرتبه بعدی قرار دارد و متغیر مستقل سمت اداری (X3) اثر غیرمستقیم ندارد.

همچنین سمت اداری (X3) دارای بالاترین اثر کاذب بر متغیر وابسته درآمد ماهانه (X4) است. اثر کاذب تحصیلات (X2) در مرتبه بعدی قرار دارد و متغیر مستقل جنسیت (X1) اثر کاذبی ندارد.

از همین رو اثر خالص متغیر مستقل جنسیت (X1) بر متغیر وابسته درآمد ماهانه (X4) به مراتب بیشتر از اثر خالص متغیر تحصیلات (X2) و به ویژه سمت اداری (X3) است. مجذور اثر خالص متغیر X1 بر متغیر وابسته X4 که 0/565 است حدود 2/5 برابر مجذور اثر خالص متغیرX2 است که فقط 0/227 است و حدود 6 برابر مجذور اثر خالص متغیر X3 است که فقط 0/097 است. این بدان معناست که سهم جنسیت در تبیین تغییر درآمد ماهانه حدود 2/5 برابر سهم تحصیلات و 6 برابر سهم سمت اداری است.

در این مطلب سعی کردیم با مثال های کاربردی مفهوم تحلیل مسیر و کاربرد های مهم آن را برای شما شرح دهیم. امیدواریم که از این مطلب به خوبی استفاده کنید. چنانچه درباره تحلیل مسیر سوالی داشتید در زیر این پست کامن بگذارید تا کارشناسان سایت به شما پاسخ دهند. چنانچه سوالی با توجه به پروژه مخصوص خود دارید می توانید باتکمیل فرم در قسمت مشاوره آماری رایگان با افراد متخصص و با تجربه ارتباط برقرار نمایید.

همچنین اگر علاقه مند به مباحث آماری هستید برای با خبر شدن از جدید ترین مطالبی که بر روی سایت آمار پیشرو قرار می گیرد، می توانید صفحه اینستاگرام آمار پیشرو را دنبال کنید. اگر نیاز به انجام پروژه های اماری دارید و چنانچه خیلی نمی خواهید وقت خود را از دست دهید، با رفتن به بخش ثبت سفارش فرم را تکمیل کرده تا کارشناسان در سریعترین زمان ممکن با شما تماس بگیرند و پروژه شما را آغاز کنند.

[block id=”breadcrumb”]

تحلیل واریانس چندمتغیره مانوا (MANOVA) در زمره روش‌های تحلیل واریانس قرار دارد.در این مقاله ابتدا مفهوم تحلیل واریانس مانوا را بررسی کرده و سپس با مثالی ملموس تحلیل واریانس چند متغیره  در SPSS اجرا کردیم.

تحلیل واریانس چند متغیره یا مانوا(MANOVA) چیست؟

به عنوان مثالی از تحلیل واریانس چندمتغیره، فرض کنید می‌خواهیم تأثیر سطح فعالیت بدنی را بر کاهش وزن و کاهش فشار خون افراد بررسی کنیم. در این حالت، فعالیت بدنی که در سه سطح کم، متوسط و زیاد سنجیده می‌شود به عنوان عامل (متغیر مستقل) است و متغیرهای کاهش وزن و کاهش فشار خون به عنوان متغیرهای وابسته هستند. چون در این مثال بیش از یک متغیر وابسته وجود دارد، باید از تحلیل واریانس چندمتغیره استفاده کنیم.

چنان‌چه تنها یک متغیر وابسته وجود داشت (مثلاً فقط کاهش وزن) آن گاه باید از تحلیل واریانس یک‌طرفه برای بررسی اثر فعالیت بدنی بر آن استفاده می‌کردیم. هم‌چنین اگر فقط یک متغیر وابسته و دو متغیر مستقل وجود داشته باشد، آن‌گاه باید از تحلیل واریانس دوطرفه بهره گرفت. مثلاً فرض کنید اگر در همین مثال قصد داشتیم اثر سطح فعالیت بدنی و گروه خونی را بر کاهش وزن افراد بررسی کنیم، آن گاه تحلیل واریانس دوطرفه گزینه مناسبی بود.

تحلیل واریانس چندمتغیره یک‌طرفه (مانوای یک‌طرفه) برای تعیین این امر استفاده می‌شود که آیا تفاوتی بین گروه‌های یک متغیر مستقل در بیش از یک متغیر وابسته پیوسته وجود دارد یا خیر. هم چنین اگر بخواهیم اثر دو متغیر مستقل را بر بیش از یک متغیر وابسته بسنجیم، آن گاه باید از مانوای دوطرفه استفاده کنیم.حتی می توانید تحلیل کواریانس چند متغیره هم ببینید.

به عنوان مثال، از مانوای یک‌طرفه برای بررسی وجود تفاوت در حافظه کوتاه‌مدت و بلندمدت دانش‌آموزان بر اساس سخنرانی‌هایی با چهار مدت زمان متفاوت می‌توان استفاده کرد. در این مثال، دو متغیر وابسته عبارتند از حافظه کوتاه‌مدت و حافظه بلندمت، در حالی که متغیر مستقل، مدت زمان سخنرانی است که با چهار زمان 30، 60، 90 و 120 دقیقه اندازه‌گیری می‌شود.

باید توجه داشت که مانوا دارای یک آماره آزمون کلی است و نمی‌تواند بگوید کدام یک از گروه‌های متغیر مستقل به طور معنی‌دار از یک‌دیگر متفاوت هستند. این آماره تنها می‌تواند بگوید حداقل دو گروه دارای تفاوت هستند. چون ممکن است سه، چهار، پنج یا تعداد بیشتری گروه در طرح آزمایش داشته باشیم، تعیین آن که کدام یک از گروه‌ها متفاوت هستند مهم است. برای همین امر می‌توان از آزمون‌های تعقیبی استفاده کرد.

در ادامه طی یک مثال، اجرای تحلیل واریانس مانوا در SPSS شرح داده می‌شود. پیش از آن، شرایطی که باید برقرار باشند تا مجاز به استفاده از آنوا باشیم، ذکر می‌شوند.

شرایط استفاده از تحلیل واریانس چند متغیره مانوا

زمانی که برای انجام تحلیل‌های خود، مانوای یک‌طرفه را انتخاب می‌کنیم، قسمتی از فرایند شامل بررسی شرایط داده‌ها است تا مطمئن شویم داده‌ها اجازه اجرای مانوا را می‌دهند. برای اجرای مانوا، باید 9 شرط که در ادامه می‌آیند برقرار باشند. البته نباید تعجب کرد اگر یک یا دو تا از این شرط‌ها در اجرای آزمایش‌های واقعی برقرار نباشند. در این صورت معمولاً راه‌حل‌های جایگزین وجود دارند.

شرایطی که باید برای اجرای تحلیل واریانس چند متغیره برقرار باشند، عبارتند از:

1- باید تعداد دو یا بیشتر متغیر وابسته داشته باشیم که هر کدام در مقیاس‌های بازه‌ای یا نسبتی اندازه‌گیری شده‌اند (یعنی کمّی باشند). مثال‌هایی از متغیرهای وابسته که دارای این شرط باشند عبارتند از: زمان تجدید نظر (اندازه‌گیری‌شده به ساعت)؛ هوش (اندازه‌گیری‌شده با استفاده از امتیاز IQ)، عملکرد در امتحان (اندازه‌گیری‌شده از صفر تا 100)؛ وزن (اندازه‌گیری‌شده به کیلوگرم).

2- متغیر مستقل حاضر در مطالعه باید شامل دو یا تعدادی بیشتری گروه باشد. به عنوان مثال‌هایی از متغیر مستقلی که دارای این شرط هستند می‌توان از این موارد نام برد: نژاد (مثلاً در سه گروه قفقازی، آفریقایی-آمریکایی و اسپانیایی)؛ سطح فعالیت بدنی (مثلاً در چهار گروه بسیار کم، کم، متوسط و زیاد)؛ شغل (مثلاً در پنج گروه جراح، دکتر، پرستار، دندان‌پزشک و درمانگر).

3- مشاهدات باید مستقل از هم باشند، یعنی هیچ رابطه‌ای بین مشاهدات در هر گروه یا بین گروه‌های مختلف نباشد. به عنوان مثال، شرکت‌کنندگان حاضر در هر گروه نباید در بیش از یک گروه حضور داشته باشند. این مسئله بیشتر مربوط به طراحی پژوهش است و برای آن آزمونی وجود ندارد، ولی شرطی مهم برای اجرای مانوا است.

4- حجم نمونه باید کافی باشد. برای مانوا باید تعداد مشاهدات در هر گروه از متغیر مستقل از تعداد متغیرهای وابسته حاضر در مطالعه بیشتر باشند.

5- نباید داده‌های پرت تک‌متغیره یا چندمتغیره وجود داشته باشند. شناسایی داده‌های پرت تک‌متغیره با نمودار جعبه‌ای و داده‌های پرت چندمتغیره با استفاده از فاصله ماهالانوبیس (Mahalanobis distance) انجام می‌شود.

6- داده‌ها باید نرمال چندمتغیره باشند. متأسفانه، نرمال بودن چندگانه شرطی بحث‌برانگیز است و در SPSS نمی‌توان آن را بررسی کرد. به جای آن، فقط نرمال بودن هر یک از متغیرهای وابسته بررسی می‌شود. برای این کار می‌توان به عنوان مثال، از آزمون شاپیرو-ویلک استفاده کرد.

7- باید رابطه‌ای خطی بین هر جفت از متغیرهای وابسته به ازای هر گروه از متغیر مستقل وجود داشته باشد. اگر متغیرها به طور خطی وابسته نباشند، توان آزمون کاهش می‌یابد. برای بررسی این شرط می‌توان از نمودار ماتریس پراکَنش برای هر گروه از متغیر مستقل استفاده کرد.

8- ماتریس‌های واریانس-کوواریانس باید همگن باشند. برای بررسی این شرط می‌توان از آزمون اِم-باکس (Box’s M test) برای برابری کوواریانس استفاده کرد. اگر داده‌ها دارای این شرط نباشند، باید آزمون همگنی لِوِن (Leven) را برای همگنی واریانس نیز اجرا کرد تا شاید بتوان دلیل عدم برقراری شرط را پیدا کرد.

9- نباید هم‌خطی وجود داشته باشد. به طور مطلوب، متغیرهای وابسته باید همبستگی متوسطی با هم داشته باشند. اگر همبستگی‌ها خیلی کم باشند، بهتر است از آنواهای جداگانه استفاده شود. اما اگر همبستگی‌ها زیاد باشند (بیشتر از 0.9)، آن گاه همخطی وجود دارد. این مسئله برای تحلیل واریانس چند متغیره مشکل‌ساز است.

برای بررسی شروط شماره 5 تا 9 مذکور در بالا می‌توان از SPSS استفاده کرد. اما پیش از آن، باید مطمئن باشیم شروط شماره 1 تا 4 برقرار هستند، که برای آن‌ها نیازی به استفاده از SPSS نیست.

تحلیل واریانس چند متغیره مانوا در spss

برای یادگیری بهتر نحوه انجام تحلیل واریانس چند متغیره، این مثال را در نظر می‌گیریم.دانش‌آموزان حاضر در یک دبیرستان از سه مدرسه ابتدایی متفاوت آمده‌اند. مدیر دبیرستان می‌خواهد بداند آیا در بین دانش‌آموزان مدارس ابتدایی مختلف به لحاظ تحصیلی تفاوت وجود دارد یا خیر. به همین منظور، تعداد 20 دانش‌آموز از مدرسه A، 20 دانش‌آموز از مدرسه B و 20 دانش‌آموز از مدرسه C انتخاب می‌شوند و عملکرد تحصیلی آن‌ها توسط نمرات پایان‌سالی که در امتحانات انگلیسی و ریاضی کسب کرده‌اند اندازه‌گیری می‌شود. بنابراین دو متغیر وابسته شامل نمره انگلیسی و نمره ریاضی وجود دارد و متغیر مستقل، مدرسه است که شامل سه گروه مدرسه A، مدرسه B و مدرسه C است.

نرم افزار SPSS چیست؟

حال برای انجام مانوا، متغیرهای حاضر در SPSS بدین صورت در نظر گرفته می‌شوند. متغیر مستقل با نام School، متغیرهای وابسته به صورت English_Score و Maths_Score هستند. پس از بررسی برقراری شروط نه‌گانه که پیشتر ذکر شد، مانوا را طی مراحل زیر در SPSS اجرا می‌کنیم.

1- از مسیر زیر، پنجره مانوا را فراخوانی می‌کنیم:

در ادامه پنجره زیر، یعنی پنجره مانوا ظاهر می‌شود:

2- همانند شکل زیر، متغیر مستقل را به قسمت عامل‌های ثابت، و متغیرهای وابسته را به قسمت متغیرهای وابسته منتقل می‌کنیم:

3- حال روی گزینه Plots کلیک می‌کنیم و پنجره زیر ظاهر می‌شود:

4- متغیر مستقل را به محور افقی، همانند شکل زیر منتقل می‌کنیم:

5- روی گزینه Add کلیک می‌کنیم. در این مرحله باید همانند شکل زیر، متغیر مستقل به قسمت نمودارها اضافه شده باشد:

6- روی Continue کلیک می‌کنیم و مجدداً به پنجره مانوا برمی‌گردیم.

7- حال روی Post Hoc کلیک می‌کنیم و به پنجره آزمون‌های تعقیبی همانند شکل زیر وارد می‌شویم:

8- متغیر مستقل را به قسمت آزمون‌های تعقیبی منتقل و گزینه آزمون توکی را همانند شکل فعال می‌کنیم:

نکته) می‌توان از آزمون‌های تعقیبی دیگر هم استفاده کرد که بستگی به طرح پژوهش دارد. اگر متغیر مستقل تنها دارای دو گروه باشد، احتیاج به استفاده از آزمون‌های تعقیبی نیست.

9- روی Continue کلیک می‌کنیم و مجدداً به پنجره تحلیل واریانس چند متغیره برمی‌گردیم.

10- روی EM Means کلیک می‌کنیم و همانند شکل زیر، به پنجره میانگین‌های حاشیه‌ای براوردشده می‌رویم:

11- متغیر مستقل را از قسمت عامل‌ها به قسمت نمایش میانگین‌ها وارد می‌کنیم. این کار همانند پنجره زیر انجام می‌شود:

12- روی Continue کلیک می‌کنیم و باز هم به پنجره مانوا بازمی‌گردیم.

13- روی Options کلیک می‌کنیم و همانند شکل زیر، به پنجره گزینه‌های مانوا وارد می‌شویم:

14- گزینه‌های آماره‌های توصیفی و اندازه‌اثرهای براوردشده را همانند شکل زیر فعال می‌کنیم:

15- روی Continue کلیک می‌کنیم و به پنجره مانوا برمی‌گردیم.

16- روی OK کلیک می‌کنیم تا خروجی ظاهر شود.

تفسیر نتایج تحلیل واریانس چند متغیره

نرم‌افزار SPSS تعداد زیادی جدول برای خروجی تحلیل واریانس چند متغیره ارائه می‌کند. در این قسمت، فقط پنجره‌های اصلی که برای تفسیر نتایج مانوا احتیاج است بررسی می‌کنیم.

جدول آماره‌های توصیفی

در این جدول، میانگین و انحراف معیار برای متغیرهای وابسته نمایش داده می‌شود، که توسط متغیر وابسته جدا شده‌اند. هم چنین، این جدول دارای سطرهای کل (Total) هم هست، که میانگین‌ها و انحراف معیارهای گروه‌ها را نمایش می‌دهد که فقط توسط متغیرمستقل جدا شده‌اند.

جدول آزمون‌های چندمتغیره

در این جدول، نتایج تحلیل واریانس چند متغیره ارائه شده است. در سطر دوم این جدول، نتیجه آزمون لامبدای ویلکس به نمایش درآمده که با مربع قرمز مشخص شده است. برای این که بدانیم آیا مانوا به طور آماری معنی‌دار است یا خیر، باید به مقدار Sig نگاه کنیم. در این جدول، مقدار Sig برابر با 0.000 شده است که کم‌تر از مقدار آلفا (0.05) و لذا معنی‌دار است. پس می‌توان نتیجه گرفت عملکرد تحصیلی دانش‌آموزانی که از مدرسه‌های ابتدایی متفاوت آمده‌اند با هم دارای تفاوت معنی‌دار است.

نتیجه به‌دست‌آمده را می‌توان بدین صورت گزارش کرد: بین عملکرد تحصیلی بر اساس مدارس قبلی دانش‌آموزان تفاوت معنی‌دار وجود دارد که در آن F (4, 112) = 13.74، p < .0005.

حال اگر آزمون معنی‌دار شده باشد (که در مثال حاضر معنی‌دار است)، باید از آزمون‌های تعقیبی نیز استفاده کرد که در ادامه خواهیم دید.

جدول آنواهای تک‌متغیره

در جدول فوق، به سطرهایی که با مربع قرمز مشخص شده‌اند توجه می‌کنیم. با توجه به این سطرها می‌بینیم که مدرسه قبلی دارای اثری معنی‌دار بر هر دو متغیر وابسته نمره انگلیسی (F (2, 57) = 18.11، p < .0005) و نمره ریاضی (F (2, 57) = 14.30، p < .0005) است.

جدول مقایسات چندگانه

در این جدول نتیجه آزمون تعقیبی توکی ارائه شده است. این جدول نشان می‌دهد برای میانگین نمرات انگلیسی تفاوت معنی‌دار بین مدارس A و B (p < .0005)، مدارس A و C (p < .0005) وجود دارد، اما بین مدارس B و C تفاوت معنی‌دار وجود ندارد (p = .897). هم چنین، میانگین نمرات ریاضی دارای تفاوت معنی‌دار بین مدارس A و C (p < .0005) و مدارس B و C (p = .001) است، اما بین مدارس A و B دارای تفاوت معنی‌دار نیست (p = .443). این نتایج را می‌توان در نمودارهای زیر هم دید:

تحلیل واریانس چند متغره چه در مباحث تحلیل آماری پایان نامه، نوشتن فصل چهارم پایان نامه و چه در کسب و کار و سازمان های مختلف کاربرد های مختلفی دارد. در این مقاله سعی بر این بود تا شما با تمامی کاربرد های آن آشنا شوید. اما در این مسیر مشکلات فراوانی ممکن است که ایجاد شود. شما می توانید مشکلات را با افراد متخصص در میان بگذارید. این امکان در سایت آمار پیشرو در قسمت مشاوره آماری رایگان فراهم شده است. شما می توانید با تکمیل فرم منتظر تماس متخصصان باشید.

در این مقاله یکی از مباحث آماری آموزش داده شده است، برای با خبر شدن از جدید ترین آموزش ها و مطالب شما می توانید. صفحه اینستاگرامی شرکت آمار پیشرو را دنبال کنید.

در این مطلب سعی کردیم به بهترین شکل نحوه تحلیل واریانس چند متغیره را به شما آموزش دهیم اما قطعا این مبحث نیز همچون تمامی موضوعات دچار پیچیدگی های خاصی خواهد بود که چنانچه نیاز به انجام پروژه توسط افراد با تجربه باشد، شما می توانید در قسمت ثبت سفارش فرم مربوطه را تکمیل کرده و منتظر تماس متخصصان ما باشید. شرکت آمار پیشرو در سریعترین زمان ممکن با هزینه مناسب و با بهترین کیفیت این خدمات را در اختیار شما قرار خواهد داد.